《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

12. 若$p = \frac{1}{n(n + 2)} + \frac{1}{(n + 2)(n + 4)} + … + \frac{1}{(n + 12)(n + 14)}$,则使p最接近$\frac{1}{10}$的正整数n是(B)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B 【点拨】$\because\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，$\frac{1}{(n+2)(n+4)}=$$\frac{1}{2}(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4})$，…，$\frac{1}{(n+12)(n+14)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+12}-$$\frac{1}{n+14})$，$\therefore p=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})+\frac{1}{2}(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4})+\dots+$$\frac{1}{2}(\frac{1}{n+12}-\frac{1}{n+14})$$=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}+\dots+\frac{1}{n+12}-\frac{1}{n+14})$$=\frac{7}{n(n+14)}$.当$n=3$时，$p=\frac{7}{3×(3+14)}=\frac{7}{51}$，当$n=4$时，$p=\frac{7}{4×(4+14)}=\frac{7}{72}$，当$n=5$时，$p=\frac{7}{5×(5+14)}=\frac{7}{95}$，当$n=6$时，$p=\frac{7}{6×(6+14)}=\frac{7}{120}$，显然$\frac{7}{72}$最接近$\frac{1}{10}$.故选 B.

13. 已知ab = 1,则$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} = $1。

答案： 1 【点拨】$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}=\frac{b^2+1+a^2+1}{(a^2+1)(b^2+1)}=$$\frac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}=\frac{a^2+b^2+2}{(ab)^2+a^2+b^2+1}$.$\because ab=1$，$\therefore$原式$=\frac{a^2+b^2+2}{1^2+a^2+b^2+1}=\frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+2}=1$.

14. 新考法 化异为同法 已知abc ≠ 0且a + b + c = 0,求$a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$的值。

答案： 【解】原式$=a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+$$c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)-3$.因为$a+b+c=0$，所以原式$=-3$.
💡点技巧 题中有$a+b+c=0$这一条件，可将所求式子化为含有$a+b+c$的形式 .

15. 已知b ＞ a ＞ 0.
(1)分式$\frac{a}{b}$的分子、分母都加1,所得的分式$\frac{a + 1}{b + 1}$的值增大了还是减小了？为什么？
(2)将分式$\frac{a}{b}$的分子、分母都加c(c ≠ 0且b + c ≠ 0),比较所得的分式$\frac{a + c}{b + c}的值与\frac{a}{b}$的大小。

答案： 【解】
(1)分式$\frac{a+1}{b+1}$的值增大了.理由：$\frac{a+1}{b+1}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+1)-a(b+1)}{b(b+1)}=\frac{b-a}{b(b+1)}$.$\because b＞a＞0$，$\therefore b-a＞0$，$b(b+1)＞0$.$\therefore\frac{b-a}{b(b+1)}＞0$.$\therefore\frac{a+1}{b+1}-\frac{a}{b}＞0$，即$\frac{a+1}{b+1}＞\frac{a}{b}$.$\therefore$分式$\frac{a+1}{b+1}$的值增大了.
(2)$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)}=\frac{bc-ac}{b(b+c)}=$$\frac{(b-a)c}{b(b+c)}$.$\because b＞a＞0$,$\therefore b-a＞0$.①当$c＞0$时，$\frac{(b-a)c}{b(b+c)}＞0$.$\therefore\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}＞0$.$\therefore\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$.②当$c＜0$时，(ⅰ)若$b+c＞0$，即$-b＜c＜0$时，$\frac{(b-a)c}{b(b+c)}＜0$.$\therefore\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}＜0$.$\therefore\frac{a+c}{b+c}＜\frac{a}{b}$. (ⅱ)若$b+c＜0$，即$c＜-b$时，$\frac{(b-a)c}{b(b+c)}＞0$.$\therefore\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}＞0$.$\therefore\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$.综上所述，当$c＞0$或$c＜-b$时，$\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$；当$-b＜c＜$$0$时，$\frac{a+c}{b+c}＜\frac{a}{b}$.

16. 新视角 项目探究题 一个容器装有1L水,按照如下要求把水倒出：第1次倒出$\frac{1}{2}$L水,第2次倒出的水量是$\frac{1}{2}$L的$\frac{1}{3}$,第3次倒出的水量是$\frac{1}{3}$L的$\frac{1}{4}$,…第n次倒出的水量是$\frac{1}{n}$L的$\frac{1}{n + 1}$。按照这种倒水的方法,容器中的1L水能倒完吗？
容易列出倒n次水倒出的总水量为$[\frac{1}{2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + … + \frac{1}{(n - 1)n} + \frac{1}{n(n + 1)}]$L。
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n(n + 1)} - \frac{n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}$,
即$\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$。
$\therefore$倒n次水倒出的总水量为$\frac{1}{2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + … + \frac{1}{(n - 1)n} + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + … + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$(L)。
(1)容器中的1L水不能倒完；(填“能”或“不能”)
(2)若目前共倒了30次水,求此时倒出的总水量；
(3)当x = 3⁰,y = 3时,求$\frac{1}{xy} + \frac{1}{(x + 2)(y + 2)} + \frac{1}{(x + 4)(y + 4)} + … + \frac{1}{(x + 2026)(y + 2026)}$的值。

答案： 【解】
(1)不能
(2)当$n=30$时，$\frac{n}{n+1}=\frac{30}{31}$，$\therefore$此时倒出的总水量为$\frac{30}{31}$ L.
(3)由题意可知$x=1$，$y=3$，$\therefore$原式$=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\dots+\frac{1}{2027×2029}$$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+$$\frac{1}{2}×(\frac{1}{2027}-\frac{1}{2029})$$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{2027}-$$\frac{1}{2029})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2029})=\frac{1014}{2029}$.