《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

7. 如图①,在$△ABE$中,$BC⊥AE于点C$,$BC = AC$,在$BC上截取CD = CE$,连接$AD$,$DE$,直线$AD交BE于点P$.
(1) 求证：$AD = BE且AD⊥BE$.
(2) 如图②,将$△CDE绕着点C$旋转一定的角度,那么$AD与BE$的位置关系是否发生变化？说明理由.
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答案：
(1)[证明]
∵BC⊥AE,
∴∠BCE=∠ACD=90°.
又
∵BC=AC,CD=CE,
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴AD=BE,∠EBC=∠DAC.
又
∵∠BDP=∠ADC,
∴∠BPA=∠ACD=90°,
∴AD⊥BE.
(2)[解]AD与BE的位置关系不发生变化,理由如下:
如图，设AD与BC交于点F.
∵∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠DCE+∠DCB=∠ACB+∠DCB,即∠ECB=∠DCA.
又
∵EC=CD,BC=AC,
∴△ECB≌△DCA(SAS).
∴∠EBC=∠DAC.
又
∵∠DFB=∠CFA,
∴∠BPA=∠BCA=90°,
∴AD⊥BE.

8. 甲,乙两个含$45^{\circ}$角的等腰直角三角板如图①放置,则有$OD = OE$,$AB = AC$,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足$O$处. 则有$OA = OB = OC$,$∠ABC = ∠ACB = ∠BAO = ∠CAO = 45^{\circ}$,现将甲绕点$O$顺时针旋转一个锐角到图②位置,$AB交OE于M$,$AC交OD于N$.
(1) 求证：$OM = ON$；
(2) 如图③所示,连接$BE和AD$,求证：$AD = BE$；
(3) 延长$DA分别交OE$,$BE所在直线于点F$,$G$,如图④,猜想并证明$DG与BE$的位置关系.
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答案：
(1)[证明]由题意得∠AOB=∠EOD=90°.
∴∠MOB+∠AOM=90°,∠AOM+∠AON=90°.
∴∠MOB=∠AON.
在△OBM和△OAN中,{∠MOB=∠AON,OA=OB,∠ABC=∠CAO}
∴△OBM≌△OAN(ASA).
∴OM=ON.
(2)[证明]由
(1)知△OBM≌△OAN,
∴BM=AN,∠BMO=∠ANO.
∴∠BME=∠AND.
∵OE=OD,OM=ON,
∴OE−OM=OD−ON,即ME=DN.
在△BEM和△ADN中,{BM=AN,∠BME=∠AND,ME=DN}
∴△BEM≌△ADN(SAS),
∴BE=AD.
(3)[解]猜想:DG⊥BE.证明如下:
由
(2)知,△BEM≌△ADN,
∴∠BEM=∠ADN.
∵∠EOD=90°,
∴∠ADN+∠DFO=90°,
∴∠BEM+∠DFO=90°.
又
∵∠DFO=∠EFG,
∴∠BEM+∠EFG=90°,
∴∠EGF=90°,
∴DG⊥BE.