《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. [2024 内江] 16 的平方根是(D)
A.-4
B.4
C.2
D.±4

答案： D

2. 用等式表示“81 的平方根等于 ±9”,正确的是(B)
A.$\sqrt{\pm 9}= 81$
B.$\pm \sqrt{81}= \pm 9$
C.$\sqrt{81}= \pm 9$
D.$\pm \sqrt{81}= 9$

答案： B

3. 一个数的平方根与它本身相等,这个数是(A)
A.0
B.2
C.1
D.3

答案： A

4. 下列说法正确的是(C)

A.正数的平方根是它本身
B.100 的平方根是 10
C.-10 是 100 的一个平方根
D.-1 的平方根是 -1

答案： C

5. 下列计算正确的是(A)

A.$-\sqrt{(-6)^2}= -6$
B.$(-\sqrt{6})^2= 36$
C.$\sqrt{16}= \pm 4$
D.$\sqrt{4\frac{1}{4}}= 2\frac{1}{2}$

答案： A

6. 若 $3 - m$ 有平方根,则 $m$ 的取值范围为$ m\leqslant 3 $。

答案： $ m\leqslant 3 $

7. 若 $a^2 = (-4)^2$,则 $a = $±4。

答案： ±4

8. 一个正数的两个平方根分别为 $m - 2$ 和 $5 - 2m$,则 $m$ 的值为3。

答案： 3 【点拨】
∵一个正数的两个平方根分别是$ m-2 $和$ 5-2m $,
∴$ m-2+5-2m=0 $,解得$ m=3 $.

9. 母题 教材 P69 例 1 求下列各数的平方根：
(1) 121； (2) 0.01；
(3) $2\frac{7}{9}$； (4) $(-13)^2$。

答案： 【解】
(1)$ \pm \sqrt{121}=\pm 11 $.
(2)$ \pm \sqrt{0.01}=\pm 0.1 $.
(3)$ \pm \sqrt{2\frac{7}{9}}=\pm \sqrt{\frac{25}{9}}=\pm \frac{5}{3} $.
(4)$ \pm \sqrt{(-13)^{2}}=\pm 13 $.

10. 求下列各式中 $x$ 的值：
(1) $4x^2 - 81 = 0$； (2) $9(3x + 1)^2 = 64$。

答案： 【解】
(1)$ 4x^{2}-81=0 $,$ 4x^{2}=81 $,$ x^{2}=\frac{81}{4} $,
$ x=\pm \sqrt{\frac{81}{4}} $,
$ x_{1}=\frac{9}{2} $,$ x_{2}=-\frac{9}{2} $.
(2)
∵$ 9(3x+1)^{2}=64 $,
∴$ (3x+1)^{2}=\frac{64}{9} $.
∴$ 3x+1=\pm \frac{8}{3} $.
∴$ 3x+1=\frac{8}{3} $或$ 3x+1=-\frac{8}{3} $.
∴$ x=\frac{5}{9} $或$ x=-\frac{11}{9} $.

11. 一个自然数的一个平方根是 $a$,则与它相邻的前一个自然数的平方根是(D)
A.$\pm \sqrt{a - 1}$
B.$a - 1$
C.$a^2 - 1$
D.$\pm \sqrt{a^2 - 1}$

答案： D

12. 新考法 分类讨论法 如果 $a + 3$ 和 $2a - 15$ 是某个非负数的平方根,那么这个数是(D)
A.49
B.441
C.7 或 21
D.49 或 441

答案： D 【点拨】由题可分类讨论:
(1)$ a+3=2a-15 $,即$ a=18 $.$ a+3=21 $,即$ 21^{2}=441 $;
(2)$ a+3=-(2a-15) $,即$ a=4 $,$ a+3=7 $,即$ 7^{2}=49 $.
故这个数是49或441.故选D.

13. 新考法 新定义计算法 $\{a\}$ 表示小于 $a$ 的最大整数,$[b]$ 表示不小于 $b$ 的最小整数,若整数 $x$,$y$ 满足 $\{x\} = 2$,$[y] = -1$,则 $3x + 2y$ 的平方根为(D)
A.$\pm \sqrt{5}$
B.$\pm 1$
C.$\pm 2$
D.$\pm \sqrt{7}$

答案： D 【点拨】
∵$ x,y $为整数,$ \{x\}=2 $,$ [y]=-1 $,
∴$ x=3 $,$ y=-1 $.
∴$ 3x+2y=3× 3+2× (-1)=9-2=7 $.
∴$ 3x+2y $的平方根是$ \pm \sqrt{7} $,故选D.

14. 如果 $a$,$b$ 分别是 2025 的两个平方根,那么 $a + b - \frac{a}{b}= $1。

答案： 1 【点拨】由题意,得$ a=-b $,
∴$ a+b-\frac{a}{b}=-b+b-\frac{-b}{b}=1 $.

15. 观察下列几个等式：
$\pm \sqrt{1×2×3×4 + 1}= \pm (1×4 + 1)= \pm 5$；
$\pm \sqrt{2×3×4×5 + 1}= \pm (2×5 + 1)= \pm 11$；
$\pm \sqrt{3×4×5×6 + 1}= \pm (3×6 + 1)= \pm 19$,
则 $\pm \sqrt{n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) + 1}= $$\pm [n(n+3)+1]$。

答案： $ \pm [n(n+3)+1] $

16. 新考向 数学文化 我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念,如图是一个二阶幻圆模型,规则：
① 内、外两个圆周上的四个数字之和相等；

② 外圆两直径上的四个数字之和相等,则 $3a - 2b$ 的平方根是±2。

答案： ±2 【点拨】根据题意,得$ \left\{\begin{array}{l} a+5+10+4=b+9+8+3,\\ a+b+8+10=4+3+9+5,\end{array}\right. $
解得$ \left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=1.\end{array}\right. $
∴$ 3a-2b=3× 2-2× 1=4 $.
∴$ 3a-2b $的平方根是$ \pm \sqrt{4}=\pm 2 $.