《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. [2025石家庄裕华区月考]下列各式中,一定是二次根式的是(D)
A.$\sqrt{a}$
B.$\sqrt{-2}$
C.$\sqrt{a + 2}$
D.$\sqrt{a^2 + 1}$

答案： D

2. 如果$\sqrt{5 + 2a}$是一个正整数,则整数$a$的最小值是(D)
A.10
B.2
C.$-4$
D.$-2$

答案： D

3. 若式子$\frac{x + 1}{\sqrt{x - 2}}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是$x＞2$。

答案： $x＞2$

4. 要使等式$(\sqrt{8 - x})^2 = x - 8$成立,则$x = $8。

答案： 8

5. [2025上海杨浦区校级月考]已知$a + \sqrt{4 - 4a + a^2} = 2$,则$a$的取值范围是$a\leqslant 2$。

答案： $a\leqslant 2$ 【点拨】$\because a+\sqrt{4 - 4a + a^2}=2$，$\therefore a+\sqrt{(2 - a)^2}=2$，$\therefore a+\vert2 - a\vert=2$，$\therefore\vert2 - a\vert=2 - a$，$\therefore2 - a\geqslant0$，$\therefore a\leqslant2$。

6. 能使$\sqrt{(3 - a)(a + 1)} = \sqrt{3 - a} \cdot \sqrt{a + 1}成立的所有整数a$的和是5。

答案： 5 【点拨】由题意得$\left\{\begin{array}{l}3 - a\geqslant0,\\a + 1\geqslant0,\end{array}\right.$解得$-1\leqslant a\leqslant3$。$\because a$是整数，$\therefore a$可以取$-1,0,1,2,3$，$\therefore$符合条件的所有整数$a$的和是$-1 + 0 + 1 + 2 + 3=5$。

7. 母题教材P105习题T2 化简下列二次根式：
(1)$\sqrt{4\frac{4}{9}}$；
(2)$\sqrt{\frac{121b^5}{16a^2}}(a ＜ 0)$。

答案： 【解】
(1)$\sqrt{4\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}$。
(2)$\sqrt{\frac{121b^5}{16a^2}}=\frac{\sqrt{121b^4\cdot b}}{\sqrt{16a^2}}=\frac{11b^2\sqrt{b}}{-4a}$。

8. 已知$a$,$b$,$c为\triangle ABC$的三边长,试化简：$\sqrt{(a + b + c)^2} + \sqrt{(a - b - c)^2} + \sqrt{(b - a - c)^2}$。

答案： 【解】由题意得$a + b + c＞0$，$a - b - c＜0$，$b - a - c＜0$，$\therefore$原式$=a + b + c-(a - b - c)-(b - a - c)=a + b + 3c$。

9. 最简二次根式$\sqrt{a + 1}与最简二次根式\sqrt{2a}$是可以合并的二次根式,则$a$的值是(A)
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$

答案： A

10. 如果$\sqrt{75} - \sqrt{12} = m\sqrt{n}$,那么$\sqrt{mn}$的值是(D)
A.27
B.9
C.6
D.3

答案： D

11. 估计$2\sqrt{3} × (2 - \sqrt{\frac{1}{3}})$的值应在(B)
A.3和4之间
B.4和5之间
C.5和6之间
D.6和7之间

答案： B

12. 不等式$x - 1 ＞ \sqrt{2}x$的最大整数解是-3。

答案： -3 【点拨】$\because x - 1＞\sqrt{2}x$，$\therefore x-\sqrt{2}x＞1$，$\therefore(1-\sqrt{2})x＞1$。$\because1-\sqrt{2}＜0$，$\therefore x＜\frac{1}{1-\sqrt{2}}$，$\therefore x＜-1-\sqrt{2}$，$\therefore$不等式$x - 1＞\sqrt{2}x$的最大整数解是-3。

13. 若$3 - \sqrt{2}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,则代数式$(2 + \sqrt{2}a)b$的值是2。

答案： 2 【点拨】$\because1＜\sqrt{2}＜2$，$\therefore1＜3-\sqrt{2}＜2$。$\because3-\sqrt{2}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，$\therefore a = 1$，$b=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$，$\therefore(2+\sqrt{2}a)\cdot b=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2$。

14. 计算：
(1)$(\sqrt{24} + \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2)$(\sqrt{3} - 1)^2 - (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$。

答案： 【解】
(1)原式$=(2\sqrt{6}+5\sqrt{2})÷\sqrt{2}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+5 - 2\sqrt{3}=5$。
(2)原式$=3 - 2\sqrt{3}+1-(4 - 3)=3 - 2\sqrt{3}+1 - 1=3 - 2\sqrt{3}$。

15. 先化简,再求值：$(\frac{3x + y}{x^2 - y^2} + \frac{2x}{y^2 - x^2}) ÷ \frac{2}{x^2y - xy^2}$,其中$x = \sqrt{3} + 1$,$y = \sqrt{3}$。

答案： 【解】原式$=(\frac{3x + y}{x^2 - y^2}-\frac{2x}{x^2 - y^2})÷\frac{2}{x^2y - xy^2}=\frac{3x + y - 2x}{(x - y)(x + y)}\cdot\frac{xy(x - y)}{2}=\frac{x + y}{(x - y)(x + y)}\cdot\frac{xy(x - y)}{2}=\frac{xy}{2}$。当$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}$时，原式$=\frac{\sqrt{3}×(\sqrt{3}+1)}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。