《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = 2AB $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,$ E $ 是 $ AD $ 上一点,且 $ EA = EC $。求证：$ EB \perp AB $。

答案：
1.[证明]如图,过点E作EF⊥AC于点F,则∠AFE=90°.
∵EA=EC,EF⊥AC,
∴AF=FC=$\frac{1}{2}$AC.

又
∵AC=2AB,
∴AF=AB.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.
又
∵AE=AE,
∴△ABE≌△AFE(SAS).
∴∠ABE=∠AFE=90°.
∴EB⊥AB.

2. 如图,点 $ E $ 在 $ \triangle ABC $ 的边 $ AC $ 的延长线上,点 $ D $ 在 $ AB $ 边上,$ DE $ 交 $ BC $ 于点 $ F $,$ DF = EF $,$ BD = CE $。求证：$ \triangle ABC $ 是等腰三角形。

答案：
2.[证明]如图，过点D作DG//CE交BC于点G,则∠E=∠FDG.
在△ECF和△DGF中,
$\begin{cases} ∠E=∠FDG, \\EF=DF, \\∠CFE=∠GFD,\end{cases}$

∴△ECF≌△DGF(ASA).
∴CE=GD.
又
∵BD=CE,
∴BD=GD.
∴∠B=∠DGB.
∵DG//AC,
∴∠DGB=∠ACB.
∴∠B=∠ACB.
∴△ABC是等腰三角形.

3. 新视角 动点探究题 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,点 $ P $ 从点 $ B $ 出发沿线段 $ BA $ 移动,同时,已知点 $ Q $ 从点 $ C $ 出发沿线段 $ AC $ 的延长线移动,点 $ P $,$ Q $ 移动的速度相同,$ PQ $ 与直线 $ BC $ 相交于点 $ D $。
(1) 求证：$ PD = QD $。
(2) 过点 $ P $ 作直线 $ BC $ 的垂线,垂足为 $ E $。在 $ P $,$ Q $ 移动的过程中,线段 $ DE $ 是否为长度保持不变的线段？请说明理由。

答案：
3.
(1)[证明]如图，过点P作PF//AC交BC于点F.
∵点P和点Q同时出发，且移动的速度相同，
∴BP=CQ.
∵PF//AC,
∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠Q.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠PFB.
∴BP=PF.
∴PF=QC.
在△PFD和△QCD中,
$\begin{cases} ∠PDF=∠QDC, \\∠DPF=∠Q, \\PF=QC,\end{cases}$

∴△PFD≌△QCD(AAS).
∴PD=QD.
(2)[解]线段DE是长度保持不变的线段.
理由:由
(1)知BP=PF.
∵PE⊥BF,
∴BE=EF.
由
(1)知△PFD≌△QCD,
∴FD=CD.
∴DE=EF+FD=$\frac{1}{2}$BF+$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$BC.
∴线段DE为长度保持不变的线段.

4. 如图,$ AD // BC $,$ AE $ 平分 $ \angle BAD $,点 $ E $ 是 $ CD $ 的中点。求证：
(1) $ AB = AD + BC $；
(2) $ AE \perp BE $。

答案：
4.
(1)[证明]如图，延长AE交BC的延长线于点F.
∵E是DC的中点，
∴DE=CE.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAE.
∵AD//BC,
∴∠DAE=∠F.
∴∠BAF=∠F.
∴AB=BF.
在△ADE和△FCE中,
$\begin{cases} ∠DAE=∠F, \\∠DEA=∠CEF, \\DE=CE,\end{cases}$

∴△ADE≌△FCE,
∴AD=CF.
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD,即AB=AD+BC.
(2)由
(1)知△ADE≌△FCE,
∴AE=FE.
又
∵BA=BF,
∴根据等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥BE.