《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. [2025石家庄裕华区月考]下列关于x的方程中,不是分式方程的是(D)
A.$\frac{x}{5}= \frac{6}{x - 5}$
B.$\frac{20}{x + 1}= \frac{5}{x - 1}+1$
C.$\frac{3x}{x^{2}+3}= 5$
D.$\frac{x}{2}= \frac{x}{4}-x$

答案： D

2. [2024无锡]分式方程$\frac{1}{x}= \frac{2}{x + 1}$的解是(A)
A.$x = 1$
B.$x = - 2$
C.$x= \frac{1}{2}$
D.$x = 2$

答案： A

3. 已知关于x的方程$\frac{3}{x - 1}= \frac{x + a}{x(x - 1)}的增根是x = 1$,则字母a的值为(D)
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$

答案： D

4. 立德树人传承红色精神为缅怀革命先烈,传承红色精神,某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走,过了20min后,其余师生乘汽车出发,结果他们同时达到.已知汽车行驶的速度是骑自行车速度的3倍,设骑自行车的速度为xkm/h,根据题意,下列方程正确的是(B)
A.$\frac{10}{x}+\frac{1}{3}= \frac{10}{3x}$
B.$\frac{10}{x}= \frac{10}{3x}+\frac{1}{3}$
C.$\frac{10}{x}+20= \frac{10}{3x}$
D.$\frac{10}{x}= \frac{10}{3x}+20$

答案： B

5. [2024遂宁]已知分式方程$\frac{2}{x - 1}= 1-\frac{m}{x - 1}$的解为正数,则m的取值范围是(B)
A.$m＞-3$
B.$m＞-3且m\neq - 2$
C.$m＜3$
D.$m＜3且m\neq - 2$

答案： B

6. 新考向数学文化欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家.在欧拉的书中有这样一道有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市,两人所带鸡蛋的个数不等,但卖的钱数相同,第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索(克罗索是古代欧洲的一种货币名称).”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖$\frac{20}{3}$个克罗索.”此题中第一个农妇的每个鸡蛋的价格是($\frac{1}{4}$)
A.$\frac{1}{3}$个克罗索
B.$\frac{1}{4}$个克罗索
C.$\frac{1}{5}$个克罗索
D.$\frac{1}{6}$个克罗索

答案： B 【点拨】设第一个农妇所带鸡蛋的个数为x,则$\frac {15}{100-x}\cdot x=\frac {20}{3}\cdot (100-x)$,即$9x^{2}=4(100-x)^{2},\therefore 3x=2(100-x)$或$3x=2(x-100)$,解得$x=40$或$x=-200$(舍去).经检验,$x=40$是原方程的根,且符合题意.
∴第一个农妇的每个鸡蛋价格是$\frac {15}{100-40}=\frac {1}{4}$(个克罗索).

7. 新考法新定义计算法对于非零数a,b,规定$a*b= \frac{1}{b - 1}-\frac{1}{a + 1}$,若$(2x - 1)*2 = 2$,则x的值为($-\frac{1}{2}$)
A.$-2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.不存在

答案： C 【点拨】根据题意,得$(2x-1)*2=\frac {1}{2-1}-\frac {1}{2x-1+1}=1-\frac {1}{2x}=2$,去分母得$2x-1=4x$,解得$x=-\frac {1}{2}$,经检验,$x=-\frac {1}{2}$是分式方程的根.
∴x的值为$-\frac {1}{2}.$

8. 若数a使关于x的不等式组$\begin{cases}\frac{x - 2}{2}\leq\frac{2x - 1}{6}+1,\\3x - a＞x + a\end{cases} $至少有五个整数解,且关于y的分式方程$\frac{1}{y - a}+\frac{1}{y - 1}= 0$有非负整数解,则满足条件的所有整数a之和是(D)
A.$10$
B.$9$
C.$8$
D.$7$

答案： D 【点拨】解关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac {x-2}{2}≤\frac {2x-1}{6}+1,\\ 3x-a＞x+a,\end{array}\right. $得$\left\{\begin{array}{l} x≤11,\\ x＞a.\end{array}\right. $
∵不等式组至少有五个整数解,$\therefore a＜7$.解分式方程$\frac {1}{y-a}+\frac {1}{y-1}=0$,得$y=\frac {a+1}{2}.\because y-1≠0,\therefore y≠1,$$\therefore \frac {a+1}{2}≠1,\therefore a≠1.\because y≥0,\therefore \frac {a+1}{2}≥0,\therefore a≥-1,$$\therefore -1≤a＜7$,且$a≠1$,a为整数.又$\because \frac {a+1}{2}$为整数,
∴a可以取-1,3,5,
∴满足条件的所有整数a之和为-1+3+5=7.故选D.

9. 已知代数式$\frac{x}{x - 3}与-\frac{x - 3}{x}$的值互为相反数,则x的值为$\frac {3}{2}$.

答案： $\frac {3}{2}$

10. 已知分式方程$\frac{5}{x + 2}+1= \frac{a + 2x}{x + 2}的解为x = 3$,则a的值为4.

答案： 4

11. 关于分式方程$\frac{1}{x + 1}+\frac{k}{x - 1}= \frac{4}{x^{2}-1}(k\neq - 1)$.
(1)若方程有增根且无解,则$k=$2；
(2)若方程的解为负数,请你写出符合条件的且互为相反数的两个k的值：$\pm 6$.

答案：
(1)2 【点拨】$\frac {1}{x+1}+\frac {k}{x-1}=\frac {4}{x^{2}-1}$,解得$x=\frac {5-k}{k+1}.$
∵方程有增根且无解,$\therefore \frac {5-k}{k+1}=1$或$\frac {5-k}{k+1}=-1$,当$\frac {5-k}{k+1}=1$时,解得$k=2$,当$\frac {5-k}{k+1}=-1$时,无解.综上,$k=2.$
(2)$\pm 6$(答案不唯一) 【点拨】
∵方程的解为负数,$\therefore \frac {5-k}{k+1}＜0,\therefore \left\{\begin{array}{l} 5-k＜0,\\ k+1＞0\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} 5-k＞0,\\ k+1＜0,\end{array}\right. \therefore k＞5$或$k＜$-1.
∴$k=\pm 6$(答案不唯一).