《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 如图,$ AB = DE $,$ AC = DF $,$ BE = CF $。求证：$ \angle A = \angle EGC = \angle D $。

答案： [证明]
∵BE=CF,
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠A=∠D,∠B=∠DEF.
∴AB//DE,
∴∠A=∠EGC,
∴∠A=∠EGC=∠D.

2. 如图,已知$ AB = AC $,$ BD = CD $,$ DE \perp AB 于点 E $,$ DF \perp AC 于点 F $,试问：$ DE 和 DF $相等吗？说明理由。

答案：
[解]DE=DF.理由如下:
如图，连接AD,在△ABD和△ACD中,AB=AC,AD=AD,BD=CD,

∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°.
在△ADE和△ADF中，∠AED=∠AFD,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(AAS).
∴DE=DF.

3. 如图,$ A $,$ C $,$ D $三点共线,$ \triangle ABC 和 \triangle CDE 在 AD $的同侧,$ AB // CE $,$ BC = DE $,$ \angle B = \angle D $,求证：
(1)$ \triangle ABC \cong \triangle CDE $；
(2)$ AB + CE = AD $。

答案：
(1)[证明]
∵AB//CE,
∴∠A=∠ECD.
在△ABC和△CDE中,∠A=∠ECD,∠B=∠D,BC=DE,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
(2)由
(1)知△ABC≌△CDE,
∴AB=CD,AC=CE,
∴AB+CE=CD+AC=AD.

4. 求证：三角形一边的中线小于其他两边和的一半.

答案： [解]已知:如图，在△ABC中,D是BC边上的中点.
求证:AD＜$\frac{AB+AC}{2}$.
证明:如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.
因为D是BC的中点，所以BD=CD.
在△BED和△CAD中，BD=CD,∠BDE=∠CDA,ED=AD,
所以△BED≌△CAD(SAS).所以BE=AC.
在△ABE中,AE＜AB+BE.
又因为AE=AD+DE=2AD,
所以2AD＜AB+AC,即AD＜$\frac{AB+AC}{2}$.
点方法证明一个几何问题的一般步骤:
(1)明确问题中的已知和待证明的结论;
(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和待证明的结论;
(3)经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程