《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 为中线,点 $ E $ 为 $ AB $ 上一点,$ AD $,$ CE $ 交于点 $ F $,且 $ AE = EF $。求证：$ AB = CF $。

答案：
5.[证明]如图，延长AD至点G,使DG=AD,连接CG.
∵AD为中线,
∴BD=CD.
又
∵∠ADB=∠GDC,DG=AD,
∴△ABD≌△GCD(SAS).

∴AB=CG,∠G=∠EAF.
∵AE=EF,
∴∠EAF=∠EFA.
∴∠G=∠EFA.
又
∵∠EFA=∠CFG,
∴∠G=∠GFC.
∴CG=CF.
∴AB=CF.

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 2\angle B $,$ CD $ 平分 $ \angle ACB $ 交 $ AB $ 于点 $ D $。求证：$ AC + AD = BC $。

答案：
6.[证明]方法一:如图①,延长CA至点E,使AE=AD,连接ED,则∠E=∠ADE.
∴∠BAC=∠E+∠ADE=2∠E.
又
∵∠BAC=2∠B,
∴∠E=∠B.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ECD=∠BCD.
又
∵CD=CD,
∴△CDE≌△CDB(AAS).
∴CE=CB.
∵CE=AC+AE=AC+AD,
∴AC+AD=BC.

方法二:如图②,延长DA到点E,使AE=AC,连接CE,
则∠E=∠ACE.
∴∠BAC=∠E+∠ACE=2∠E.
又
∵∠BAC=2∠B,
∴∠B=∠E.
∴BC=EC,∠B=∠ACE.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD.
∴∠B+∠BCD=∠ACE+∠ACD.
∴∠ADC=∠DCE.
∴DE=CE.
∴AC+AD=AE+AD=DE=CE=BC.

方法三:如图③,在BC上截取CE=CA,连接DE.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠ECD.
又
∵CA=CE,CD=CD,
∴△ACD≌△ECD(SAS).
∴AD=DE,∠BAC=∠DEC.
∵∠BAC=2∠B,∠DEC=∠B+∠BDE,
∴∠BDE=∠B.
∴DE=BE.
∴AC+AD=CE+DE=CE+BE=BC.

7. 【问题初探】
(1) 如图 ①,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $。点 $ D $ 在 $ \triangle ABC $ 外,连接 $ AD $,$ BD $,$ CD $,且 $ \angle BDC = \angle BAC $。过 $ A $ 作 $ AE \perp BD $ 于点 $ E $,则线段 $ BE $,$ CD $,$ DE $ 之间满足的数量关系是______；
【类比分析】
(2) 如图 ②,$ \triangle ABC $ 为等边三角形,$ \triangle ACD $ 是等腰直角三角形,其中 $ AC = AD $,$ \angle CAD = 90^{\circ} $,$ AE $ 是 $ CD $ 边上的中线,连接 $ BD $ 交 $ AE $ 于点 $ F $。证明：$ BF = AF + DF $；
【学以致用】
(3) 如图 ③,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = BC $,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,点 $ D $ 在 $ AB $ 边上,过 $ B $ 作 $ BE \perp CD $ 交 $ CD $ 的延长线于点 $ E $,延长 $ EB $ 至点 $ F $,连接 $ CF $,使 $ \angle BCF = \angle ABE $,连接 $ AF $,交 $ CD $ 于点 $ G $,若 $ BE = \frac{8}{3} $,$ CE = \frac{22}{3} $,则 $ \triangle EGF $ 的面积为______。

答案：
7.
(1)BE=CD+DE
(2)[证明]如图①,在BF上截取BH=DF,连接AH.
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=60°.
∵AC=AD,∠CAD=90°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+90°=150°,AB=AD.
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{180°−150°}{2}$=15°.
又
∵BH=DF,
∴△ABH≌△ADF(SAS).
∴AH=AF.
∵AE是CD边上的中线,AC=AD,
∴AE平分∠CAD.
∴∠DAE=45°.
∴∠AFH=∠ADB+∠DAE=15°+45°=60°.
∴△AHF是等边三角形.
∴AF=HF.
∴BF=HF+BH=AF+DF.

(3)$\frac{77}{9}$ [点拨]如图②,过A作AH⊥CD于H.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ABC=45°.
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=∠BCF+∠BFC,且∠ABE=∠BCF,
∴∠BFC=∠ABC=45°.
∵BE⊥CD,
∴∠CEF=90°.
∴∠ECF=45°=∠EFC.
∴EF=CE=$\frac{22}{3}$.
∵AH⊥CD,
∴∠AHC=90°=∠ACB.
∴∠ACH+∠CAH=90°=∠ACH+∠BCE.
∴∠CAH=∠BCE.
又
∵∠AHC=∠BEC=90°,AC=BC,
∴△ACH≌△CBE(AAS).
∴AH=CE,CH=BE=$\frac{8}{3}$.

∴AH=EF.
又
∵∠AHG=∠FEG=90°,∠AGH=∠FGE,
∴△AHG≌△FEG(AAS).
∴GH=GE.
∵CE=$\frac{22}{3}$,CH=$\frac{8}{3}$,
∴EH=CE−CH=$\frac{22}{3}$−$\frac{8}{3}$=$\frac{14}{3}$.
∴GH=GE=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$×$\frac{14}{3}$=$\frac{7}{3}$.
∴S△EGF=$\frac{1}{2}$EF·EG=$\frac{1}{2}$×$\frac{22}{3}$×$\frac{7}{3}$=$\frac{77}{9}$.