《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

10. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图①所示的三等分角仪能三等分任意一个角.如图②,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O相连并可绕点O转动,点C固定,OC= CD= DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE= 75°,则∠DCE的度数是50°.

答案： 50 【点拨】设∠O=x°.
∵OC=CD，
∴∠O=∠CDO=
x°.
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2x°.
∵CD=DE，
∴∠DEC=∠DCE=2x°.
∴∠BDE=∠O+∠DEC=
x°+2x°=3x°=75°，
∴x=25.
∴∠DCE=2x°=50°.

11. [2025秦皇岛期末]如图,在等边三角形ABC中,E是AC边的中点,P是△ABC的中线AD上的动点,且AD= 9,则EP+CP的最小值是______.

答案：
9 【点拨】连接BE，交AD于点F，连接BP，如图所示.
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥
BC.
∴AD是BC的垂直平分线.
∴PB=PC.
∴PC+PE =PB+PE;
∵当B,P,E三点共线時,BP+PE最小,EP 十CP有最小值，
∴当点P在点F处时,EP+CP有最小值，且最小值为BE的长.
∵E是AC
边的中点，
∴BE是△ABC的中线
∴BE⊥AC;
∵AC=BC,S△ABC=
$\frac{1}{2}$AC×BE=$\frac{1}{2}$BC×AD,
∴BE=
AD=9,即EP+CP的最小值为9.

12. 如图,在$△AB_1C_1$中$,AC_1= B_1C_1,∠C_1= 20°,$在$B_1C_1$上取一点$C_2,$延长$AB_1$到点$B_2,$使得$B_1B_2= B_1C_2；$在$B_2C_2$上取一点$C_3,$延长$AB_2$到$B_3,$使得$B_2B_3= B_2C_3；$在$B_3C_3$上取一点$C_4,$延长$AB_3$到点$B_4,$使得$B_3B_4= B_3C_4；$…按此操作进行下去,∠AB_{2025}C_{2025}的度数为$\frac{80°}{2^{2024}}$.

答案： $\frac{80°}{2^{2024}}$ 【点拨】
∵AC₁=B₁C₁，∠C₁=20°，
∴∠AB₁C₁=
$\frac{180° - ∠C₁}{2}$=$\frac{180° - 20°}{2}$=80°.
∵B₁B₂=B₁C₂，∠AB₁C₁
是△B₁B₂C₂的外角，
∴∠B₁B₂C₂=$\frac{∠AB₁C₁}{2}$=$\frac{80°}{2}$=40°.
同理可得∠B₂B₃C₃=20°，∠B₃B₄C₄=10°，…
∴∠AB₂₀₂₅C₂₀₂₅=$\frac{80°}{2^{2024}}$.

13. 如图,在等边三角形ABC中,点D为边BC的中点,以AD为边作等边三角形ADE,连接BE.求∠AEB的度数.

答案： 【解】
∵在等边三角形ABC中，点D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，AC=AB，∠BAD+∠CAD=∠CAB=60°.
∴∠ADC=90°.
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠BAD+∠BAE=∠DAE=60°.
∴∠CAD=∠BAE.
在△ADC与△AEB中，$\left\{ \begin{array}{l} AC=AB,\\ ∠CAD=∠BAE,\\ AD=AE, \end{array} \right.$
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠AEB=∠ADC=90°.

14. 如图,在△ABC中,AC= BC,∠ACB= 120°,BE⊥AB,点D为BC上一点,且CD= BE,AD,CE交于点P.
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)猜想∠APC的度数,并证明.

答案：
(1)【证明】
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠CAB=∠CBA=30°.
∵BE⊥AB，
∴∠CBE=30°+90°=120°.
∴∠ACB=∠CBE.
在△ACD和△CBE中，$\left\{ \begin{array}{l} AC=CB,\\ ∠ACB=∠CBE,\\ CD=BE, \end{array} \right.$
∴△ACD≌△CBE(SAS).
(2)【解】∠APC=60°.证明如下：
∵△ACD≌△CBE，
∴∠CAP=∠PCD.
∵∠ACP+∠PCD=∠ACD=120°，
∴∠ACP+∠CAP=120°.
∴∠APC=180°-120°=60°.

15. 探究与发现：如图①,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,点D在底边BC上,AE= AD,连接DE.
(1)当∠BAD= 60°时,求∠CDE的度数；
(2)当点D在BC(点B,C除外)上运动时,试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
(3)深入探究：若∠BAC≠90°,其他条件与题干相同,试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.

答案： 【解】
(1)
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°.
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°.
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=75°.
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°.
(2)设∠BAD=α，则∠CAD=90°-α.
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+$\frac{1}{2}$α.
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$α.
∴∠BAD=
2∠CDE.
(3)设∠CDE=x，∠C=y.
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠B=
∠C=y.
∵∠CDE=x，
∴∠AED=y+x.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=y+x.
∵∠ADC=
∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴y+∠BAD=y+
x+x，
∴∠BAD=2x.
∴∠BAD=2∠CDE.