《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 比较$\sqrt{6}+\sqrt{11}与\sqrt{14}+\sqrt{3}$的大小.

答案： 【解】$\because (\sqrt{6}+\sqrt{11})^{2}=17+2\sqrt{66}$,
$(\sqrt{14}+\sqrt{3})^{2}=17+2\sqrt{42}$,
$17+2\sqrt{66}＞17+2\sqrt{42}$,
$\therefore (\sqrt{6}+\sqrt{11})^{2}＞(\sqrt{14}+\sqrt{3})^{2}$.
又$\because \sqrt{6}+\sqrt{11}＞0$,$\sqrt{14}+\sqrt{3}＞0$,
$\therefore \sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$.

2. 比较$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}与\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$的大小.

答案： 【解】$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}÷ \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)^{2}}=\frac{a+4\sqrt{a}+3}{a+4\sqrt{a}+4}＜1$.
易知$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＞0$,$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}＞0$,$\therefore \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$.
点方法 已知$a＞0$,$b＞0$,若$\frac{a}{b}＞1$,则$a＞b$;若$\frac{a}{b}=1$,则$a=b$;若$\frac{a}{b}＜1$,则$a＜b$.

3. (1)比较$\sqrt{15}-\sqrt{14}与\sqrt{14}-\sqrt{13}$的大小；
(2)比较$\sqrt{15}-\sqrt{13}与\sqrt{13}-\sqrt{11}$的大小.

答案： 【解】
(1)$\because \sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$,
$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$,
$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}＞0$,
$\therefore \frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$,
即$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$.
(2)$\because \sqrt{15}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$,
$\sqrt{13}-\sqrt{11}=\frac{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$,
且$\sqrt{15}+\sqrt{13}＞\sqrt{13}+\sqrt{11}＞0$,
$\therefore \frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}＜\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$,
即$\sqrt{15}-\sqrt{13}＜\sqrt{13}-\sqrt{11}$.

4. 比较$\frac{1}{2-\sqrt{3}}与\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$的大小.

答案： 【解】$\because \frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$,$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$\therefore \frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.

5. 比较$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}与\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$的大小.

答案： 【解】$\because \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}-\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})× \sqrt{2}-(2-\sqrt{2})× \sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}}{\sqrt{6}}＜0$,
$\therefore \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

6. 已知$x= \sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}$,$y= \sqrt{n+2}-\sqrt{n}$,试比较$x$,$y$的大小.

答案： 【解】由题意可得$x$,$y$不为$0$,$\therefore \frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2}＞0$,
$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}＞0$.
$\because \sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}＞\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＞0$,
$\therefore \frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$.$\therefore x＜y$.

7. 比较$A= \sqrt{54321× 54324}与B= \sqrt{54323× 54322}$的大小.

答案： 【解】设$54321=x$,则$A=\sqrt{x(x+3)}=\sqrt{x^{2}+3x}$,
$B=\sqrt{(x+2)(x+1)}=\sqrt{x^{2}+3x+2}$.
$\because x^{2}+3x＜x^{2}+3x+2$,$\therefore A＜B$.