《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

6. [2025邯郸月考] 折纸实验：如图,长方形纸带ABCD,E,F分别是边AD,BC上的点,∠DEF= α(0°＜α＜90°且α≠60°),将纸带ABCD沿EF折叠成图①,再沿GF折叠成图②。
(1)当α= 25°时,则∠BFE= 25°；
(2)两次折叠后,则∠NFE= 180°-3α(用含α的代数式表示)。

答案：
(1)25°
(2)180°-3α 【点拨】由折叠可得∠GEF=∠DEF=α，∠GFC'=∠GFN，
∵长方形的对边是平行的，
∴∠GFE=∠DEF=α，∠D'GF+∠GFC'=180°，
∴∠EGB=∠DEG=2α=∠D'GF，
∴∠GFC'=180°-2α=∠GFN，
∴∠NFE=∠GFN-∠GFE=180°-2α-α=180°-3α.

7. 新考法 逆向思维法 如图,O为△ABC内部一点,OB= 3,P,R分别为点O关于直线AB,BC的对称点。
(1)请指出当∠ABC为多少度时,会使得PR的长度等于6,并说明理由。
(2)根据第(1)问,请判断当∠ABC不是你指出的角度时,PR的长度是小于6还是大于6？并说明理由。

答案：
【解】
(1)当∠ABC=90°时,PR=6.
理由:如图,连接 OP,OR,PB,RB.
∵P,R 分别为点 O 关于直线 AB,BC 的对称点，
∴PB=OB=3,RB=OB=3，
∠ABP=∠ABO，
∠CBR=∠CBO.
若∠ABC=90°，
则∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°，
∴∠PBR=180°，
∴点 P,B,R 共线，
∴PR=PB+RB=6.
(2)PR 的长度小于 6.
理由:如图.
∵∠ABC≠90°，

∴点 P,B,R 不在同一条直线上.
∴PR＜PB+BR.
由
(1)易得 PB+BR=3+3=6，
∴PR＜6.

8. 如图,在△ABC中,AB= AC,D,E是BC边上的点,连接AD,AE,以△ADE的边AE所在直线为对称轴作与△ADE成轴对称的图形△AD'E,连接D'C,BD= CD'。
(1)试说明：△ABD≌△ACD'；
(2)若∠BAC= 100°,求∠DAE的度数。

答案： 【解】
(1)由题意知,△ADE 与△AD'E 关于 AE 所在直线对称,
∴AD=AD'.
在△ABD 与△ACD'中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ BD=CD',\\ AD=AD',\end{array}\right. $
∴△ABD≌△ACD'(SSS).
(2)
∵△ABD≌△ACD'，
∴∠BAD=∠CAD'，
∴∠BAC=∠DAD'=100°.
∵△ADE 与△AD'E 关于 AE 所在直线对称，
∴∠DAE=∠D'AE=$\frac {1}{2}$∠DAD'=$\frac {1}{2}$×100°=50°.

9. 如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线$l_1$交BC于D,AC边的垂直平分线$l_2$交BC于$E,l_1$与$l_2$相交于点O。△ADE的周长为6cm。
(1)求BC的长；
(2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为16cm,求OA的长。

答案：
【解】
(1)如图,
∵DF,EG 分别是线段 AB,AC 的垂直平分线,
∴AD=BD,AE=CE，
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC.
∵△ADE 的周长为 6 cm,即 AD+DE+AE=6 cm，
∴BC=6 cm.
(2)
∵AB 边的垂直平分线$l_{1}$交 BC 于点 D,AC 边的垂直平分线$l_{2}$交 BC 于点 E,
∴OA=OC=OB，
∵△OBC 的周长为 16 cm，
即 OC+OB+BC=16 cm，
∴OC+OB=16 - 6 = 10(cm)，
∴OC=5 cm，
∴OA=OC=OB=5 cm.