《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

14. (10分)新考法 数形结合法 实数$a$,$b$在数轴上对应点的位置如图所示,$M = |b - 2| + \sqrt{(a + 2)^{2}}$.

(1)化简$M$；
(2)当$|a - \frac{3}{2}| + \sqrt{b + \frac{5}{2}} = 0$时,求$M$的值.

答案： 【解】
(1)由题图可知，$b＜-2＜0＜a＜2$，且$|a|＜|b|$，$\therefore b-2＜0$,$a+2＞0$.$\therefore M=2-b+a+2=a-b+4$;
(2)$\because |a-\frac{3}{2}|+\sqrt{b+\frac{5}{2}}=0$，$\therefore a-\frac{3}{2}=0$,$b+\frac{5}{2}=0$，即$a=\frac{3}{2}$,$b=-\frac{5}{2}$.$\therefore M=a-b+4=\frac{3}{2}-(-\frac{5}{2})+4=4+4=8$.

15. (12分)新视角 新定义型题 我们知道,任意一个二次根式$\sqrt{n}$($n$为正整数),都可以进行这样的分解：$\sqrt{n} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{q}$($p$,$q$是正整数,且$p\leq q$),在$\sqrt{n}$的所有这种分解中,如果$\sqrt{q} - \sqrt{p}$最小,我们就称$\sqrt{p} \cdot \sqrt{q}是\sqrt{n}$的最佳分解,并规定：$F(n) = \frac{p}{q}$. 例如$\sqrt{12}可以分解成\sqrt{1} × \sqrt{12}$,$\sqrt{2} × \sqrt{6}或\sqrt{3} × \sqrt{4}$,显然$\sqrt{3} × \sqrt{4}是\sqrt{12}$的最佳分解,此时$F(12) = \frac{3}{4}$.
(1)$\sqrt{24}$的最佳分解为$\sqrt{4}× \sqrt{6}$,$F(24) = $$\frac{2}{3}$；
(2)若正整数$m$,$n满足F(m) = 1$,$F(n) = \frac{5}{6}$,且$35 ＜ m + n ＜ 40$,求$F(m + n)$的值.
$\frac{3}{13}$

答案： 【解】
(1)$\sqrt{4}× \sqrt{6}$;$\frac{2}{3}$【点拨】$\sqrt{24}$可以分解为$\sqrt{1}× \sqrt{24}$、$\sqrt{2}× \sqrt{12}$、$\sqrt{3}× \sqrt{8}$、$\sqrt{4}× \sqrt{6}$，显然$\sqrt{4}× \sqrt{6}$是$\sqrt{24}$的最佳分解，此时$F(24)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$;
(2)$\because F(n)=\frac{5}{6}$,
∴可设$\sqrt{n}=\sqrt{5k}\cdot \sqrt{6k}=\sqrt{30k^{2}}$，其中k为正整数.$\therefore n=30k^{2}$.$\because 35＜m+n＜40$,$\therefore n=30$.$\because F(m)=1$,$\therefore m$是一个正整数的平方数.$\because 35＜m+n＜40$,$n=30$,$\therefore 5＜m＜10$.$\therefore m=9$.$\therefore F(m+n)=F(39)=\frac{3}{13}$.

16. (14分)新考法 阅读类比法 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \frac{1 × (\sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4})(\sqrt{5} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{4})^{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2$；
$\frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{2 × (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2} - (\sqrt{5})^{2}} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{5}}{6 - 5} = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{5}$.
请解答下列问题：
(1)观察上面解题过程,计算$\frac{3}{\sqrt{10} - \sqrt{7}}$；
(2)请直接写出$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$的结果($n\geq 1$)；
(3)利用上面的解法,请化简：$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + … + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$.

答案： 【解】
(1)原式$=\frac{3(\sqrt{10}+\sqrt{7})}{(\sqrt{10}-\sqrt{7})(\sqrt{10}+\sqrt{7})}=\sqrt{10}+\sqrt{7}$;
(2)归纳总结得$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}(n\geq 1)$;
(3)原式$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots +\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}=10-1=9$.