《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

5. 如图,点$ B $,$ F $,$ C $,$ E $在一条直线上,$ A $,$ O $,$ D $在一条直线上,$ OA = OD $,$ AC // FD $,$ BF = CE $。求证：$ AB // DE $。

答案： [证明]
∵AC//FD,
∴∠CAO=∠FDO.
在△ACO和△DFO中，∠CAO=∠FDO,OA=OD,∠AOC=∠DOF,
∴△ACO≌△DFO(ASA),
∴OC=OF.
又
∵BF=CE,
∴BO=EO.
在△ABO和△DEO中,BO=EO,∠AOB=∠DOE,OA=OD,
∴△ABO≌△DEO(SAS),
∴∠B=∠E,
∴AB//DE.

6. 如图,$ BE $,$ CF 分别是 \triangle ABC 的边 AC $,$ AB $上的高,且$ BE 与 CF 相交于点 P $,$ BP = AC $,延长$ CF 到 Q $,使$ CQ = AB $,连接$ AP $,$ AQ $。求证：
(1)$ AP = AQ $；
(2)$ AP \perp AQ $。

答案：
(1)[证明]
∵BE,CF分别是△ABC的边AC,AB上的高，
∴∠BFP=∠QFA=∠CEP=90°.
∴∠BAC+∠FCA=90°,∠ABP+∠BAC=90°.
∴∠FCA=∠ABP.
在△QAC和△APB中,BP=AC,∠ABP=∠QCA,CQ=AB,
∴△QAC≌△APB(SAS),
∴AP=AQ.
(2)
∵△QAC≌△APB,
∴∠AQF=∠PAF.
∵∠QFA=90°,
∴∠FAQ+∠FAQ=90°.
∴∠FAQ+∠PAF=90°,即∠PAQ=90°,
∴AP⊥AQ.

7. [2024长沙]如图,点$ C 在线段 AD $上,$ AB = AD $,$ \angle B = \angle D $,$ BC = DE $。
(1)求证：$ \triangle ABC \cong \triangle ADE $；
(2)若$ \angle BAC = 60^{\circ} $,求$ \angle ACE $的度数。

答案：
(1)[证明]在△ABC和△ADE中,BC=DE,∠B=∠D,AB=AD,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)[解]由
(1)得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠ACE=∠AEC=$\frac{1}{2}$(180°−∠DAE)=60°.

8. [2025沧州期末]如图,将一块等腰直角三角板$ ABC 的直角顶点 A 置于直线 l $上,过$ B $,$ C 两点分别作直线 l $的垂线,垂足分别是$ D $,$ E $。
(1)求证：$ \triangle ABD \cong \triangle CAE $；
(2)已知$ E 是 AD $的中点,当$ BD = 4 $时,求$ CE $的长。

答案：
(1)[证明]
∵△ABC是等腰直角三角形，且直角顶点是A,
∴AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°.
∵BD⊥l,CE⊥l,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∴∠DBA+∠BAD=90°,
∴∠DBA=∠CAD.
在△ABD和△CAE中,∠BDA=∠CEA,∠DBA=∠CAD,AB=AC,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
(2)[解]由
(1)知△ABD≌△CAE,
∴BD=AE,AD=CE.
∵E是AD的中点,BD=4,
∴CE=AD=2AE=2BD=8,即CE的长为8.