《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. (2024·建湖县期中)综合与实践
【问题驱动】
如何验证勾股定理及探究勾股数?
【活动操作】
小明参照教材用 4 张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形 ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形 ABEFG 的面积,并写出得到等式 $ a^{2}+b^{2}= c^{2} $的过程.
(2)如果满足等式 $ a^{2}+b^{2}= c^{2} $的 $ a,b,c $是三个正整数,我们称 $ a,b,c $为勾股数. 已知 $ m,n $是正整数且 $ m＞n $,证明:$ 2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2} $是勾股数.
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形 ABEFG 中,若 $ a= 4,b= 8 $,则空白部分的面积为48.
(4)请写出任意一组含有 85 的“勾股数”:85,3612,3613(答案不唯一).
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用 $ 2n^{2}+4n+4 $( $ n $为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是$2n^{2}+4n$,$4n+4$.

答案：
(1)如图所示:
方法一：$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形NDEF}+S_{\triangle MFG}+S_{\triangle ANG}=b^{2}+a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+ab$.
方法二：$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CEF}=c^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^{2}+ab$，
$\therefore a^{2}+b^{2}+ab=c^{2}+ab$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)$\because (2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$，$(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}$，
$\therefore (2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}+2m^{2}n^{2}$.
$\because (m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}+2m^{2}n^{2}$，
$\therefore (2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$.
$\because m,n$是正整数且$m＞n$，
$\therefore 2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$都是正整数，
$\therefore 2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$是勾股数.
(3)48 解析：$\because a=4,b=8$，$\therefore S_{五边形ABEFG}=a^{2}+b^{2}+ab=4^{2}+8^{2}+4×8=112$.又$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4×8=16$，$\therefore S_{空白部分}=112 - 4×16=48$.
(4)85,3612,3613(答案不唯一)
(5)$2n^{2}+4n$ $4n+4$ 解析：$(2n^{2}+4n+4)^{2}=[(2n^{2}+4n)+4]^{2}=(2n^{2}+4n)^{2}+2×4×(2n^{2}+4n)+16=(2n^{2}+4n)^{2}+(16n^{2}+32n+16)=(2n^{2}+4n)^{2}+(4n+4)^{2}$，$\therefore$另两个表达式为$2n^{2}+4n$，$4n+4$.