《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

16. (2024·淄博)如图,已知AB= CD,点E,F在线段BD上,且AF= CE.
请从①BF= DE；②∠BAF= ∠DCE；③AF= CF中,选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE.
你添加的条件是：①(只填写一个序号).添加条件后,请证明AE//CF.

答案： 当选择①BF=DE时,△ABF≌△CDE.证明:在△ABF和△CDE中,{AB=CD,AF=CE,BF=DE},
∴△ABF≌△CDE(SSS),
∴∠B=∠D,BF=DE,
∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF.在△ABE和△CDF中,{AB=CD,∠B=∠D,BE=DF},
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠AEB=∠CFD,
∴AE//CF.当选择②∠BAF=∠DCE时,△ABF≌△CDE.证明:在△ABF和△CDE中,{AB=CD,∠BAF=∠DCE,AF=CE},
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴∠B=∠D,BF=DE.同理可证△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠AEB=∠CFD,
∴AE//CF.当选择③AF=CF时,不能判定△ABF≌△CDE.

17. (2024·阳江江城区期末)问题背景：“半角模型”问题.如图1,在四边形ABCD中,AB= AD,∠BAD= 120°,∠B= ∠ADC= 90°,点E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= 60°,连接EF,探究线段BE,EF,DF之间的数量关系.
(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G,使DG= BE,连接AG.先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,从而得出结论：______.
(2)拓展延伸：如图2,在四边形ABCD中,AB= AD,∠B+∠D= 180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由.
(3)尝试应用：如图3,在四边形ABCD中,AB= AD,∠B+∠ADC= 180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,且∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,请探究线段BE,EF,DF具有怎样的数量关系,并证明.

答案：

(1)EF=BE+DF　解析:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.
∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°,AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠BAD−∠EAF=60°,
∴∠GAF=∠EAF.又
∵AF=AF,
∴△AGF≌△AEF(SAS),
∴FG=EF.
∵FG=DF+DG,
∴EF=BE+DF.
(2)
(1)中的结论仍然成立.证明如下:如图2,延长CB至点M,使BM=DF，连接AM.
∵∠ABC+∠D=180°,∠1+∠ABC=180°,
∴∠1=∠D.在△ABM与△ADF中,{AB=AD,∠1=∠D,BM=DF},
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AF=AM,∠2=∠3.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠2+∠4=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF,
∴∠3+∠4=∠EAF,即∠MAE=∠EAF.在△AME与△AFE中,{AM=AF,∠MAE=∠FAE,AE=AE},
∴△AME≌△AFE(SAS),
∴ME=EF.又
∵ME=BE+BM,BM=DF,
∴EF=BE+BM=BE+DF.
(3)结论:EF=BE−FD.证明如下:如图3,在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.在△ABG与△ADF中,{AB=AD,∠ABG=∠ADF,BG=DF},
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAE=∠BAD−∠BAG−∠EAD=∠BAD−∠EAF=∠EAF.在△AEG与△AEF中,{AG=AF,∠GAE=∠FAE,AE=AE},
∴△AEG≌△AEF(SAS),
∴EG=EF.又
∵EG=BE−BG,BG=DF,
∴EF=BE−BG=BE−DF.