《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. (2024·兴化市期中)如图,等腰三角形 $ABC$ 的底边 $BC$ 长为 $2$,$AB = 4$,腰 $AC$ 的垂直平分线 $EF$ 分别交边 $AC$,$AB$ 于 $E$,$F$ 点. 若点 $D$ 为边 $BC$ 的中点, 点 $M$ 为线段 $EF$ 上一动点, 求 $CM + DM$ 的最小值.

答案：
如图,连接AD,MA.
∵△ABC是等腰三角形,点D是边BC的中点,BC=2,
∴AD⊥BC,BD= $\frac{1}{2}$BC=1.
在Rt△ABD中,AB=4,
由勾股定理,得AD²+BD²=AB²,
∴AD= $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}$.
∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC.
∵MC+DM=MA+DM≥AD,
∴CM+MD的最小值为AD的长,即为$\sqrt{15}$.

2. 如图, 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = BC = 4$, 点 $M$ 在 $BC$ 上, 且 $BM = 1$,$N$ 是 $AC$ 上一动点, 求 $BN + MN$ 的最小值.

答案：
如图,作点B关于AC的对称点B',连接B'N,B'C,B'M.
∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°.
由对称,得BN=B'N,B'C=BA=4,∠B'CA=∠BCA=45°,
∴∠BCB'=∠ACB+∠ACB'=90°.
在Rt△B'CM中,CM=BC-BM=4-1=3,
由勾股定理,得CM²+B'C²=B'M²,
∴B'M= $\sqrt{CM^{2}+B'C^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.
∵BN+MN=B'N+MN≥B'M,
∴BN+MN的最小值是B'M的长,即为5.

3. (2024·济宁兖州区期中)如图, 教室的墙面 $ADEF$ 与地面 $ABCD$ 垂直, 点 $P$ 在墙面上, 若 $PA = AB = 13\ m$, 点 $P$ 到 $AD$ 的距离是 $12\ m$, 有一只蚂蚁要从点 $P$ 爬行到点 $B$, 求它的最短行程.

答案：
如图,将教室的墙面ADEF与地面ABCD展成一个平面.
过点P作PG⊥BF于点G,连接PB.
在Rt△APG中,AG=12 m,
PA=AB=13 m,
BG=AB+AG=25(m).
由勾股定理,得PG²+AG²=PA²,
∴PG= $\sqrt{PA^{2}-AG^{2}}=5$(m).
在Rt△BPG中,由勾股定理,得PG²+BG²=PB²,
∴PB= $\sqrt{BG^{2}+PG^{2}}=\sqrt{650}$(m).
由"两点之间线段最短",知这只蚂蚁的最短路程是$\sqrt{650}$m.