《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

13. (2023·阜宁县期中)如图,OA = OB,OC = OD. 求证：△ABC≌△BAD.

答案： 在△AOD和△BOC中,{OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴AD=BC,∠D=∠C.
∵OA=OB,OC=OD,
∴OA+OC=OB+OD,即AC=BD.
　　在△ABC和△BAD中，{BC=AD,∠C=∠D,AC=BD,
∴△ABC≌△BAD(SAS).

14. (2024·南京玄武区期中)在△ABC 中,AB = AC,点 D 是射线 CB 上一动点(不与点 B,C 重合),以 AD 为边在其右侧作△ADE,使得 AD = AE,∠DAE = ∠BAC,连接 CE.
(1)如图 1,点 D 在线段 CB 上,求证：△ABD≌△ACE；
(2)设∠BAC = α,∠DCE = β. 如图 2,当点 D 在射线 CB 上移动时,探究 α 与 β 之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,
∴∠BAD=∠CAE.
　　在△ABD和△ACE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)当点D在射线CB上移动时,α与β之间的数量关系是α+β=
　　180°或α=β.理由如下:
　　①当点D在线段CB上移动时,
　　由
(1),知△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB.
∵在△ABC中,∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠DCE=180°,即α+β=180°;
　　②当点D在CB的延长线上时，
　　同理可证△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠ABD=∠ACB+∠BAC,∠ACE=∠ACB+∠DCE,
∴∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠DCE,
∴∠BAC=∠DCE,即α=β.
　　综上可知，当点D在射线CB上移动时,α与β之间的数量关系是α+β=180°或α=β.

15. (2024·苏州工业园区期末)如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,AD = 6 cm,BD = 10 cm,BC ＞ 8 cm. 动点 P 以 1 cm/s 的速度从点 A 出发沿边 AD 向点 D 匀速移动,动点 Q 以 2 cm/s 的速度从点 B 出发沿边 BC 向点 C 匀速移动,动点 M 从点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速移动,三点同时出发. 当动点 M 的速度为多少时,存在某个时刻,使得以 P,D,M 为顶点的三角形与△QBM 全等？

答案： 设运动的时间为t s，动点M的速度为v cm/s.
　　由题意,得AP=t cm,BQ=2t cm,BM=vt cm,
∴DP=(6−t)cm,DM=(10−vt)cm.
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC.
　　当DP=BM,DM=BQ时,由“SAS"可判定△DPM≌△BMQ,则{6−t=vt ①,10−vt=2t ②,
　　①−②,得−4−t=vt−2t,解得t=4.
　　将t=4代入①,得6−4=4v,解得v=0.5;
　　当DP=BQ,DM=BM时,由“SAS"可判定△DPM≌△BMQ,则{6−t=2t ①,10−vt=vt ②,由①,解得t=2.
　　将t=2代入②,得10−2v=2v,解得v=2.5.
　　综上可知，当动点M的速度为0.5 cm/s或2.5 cm/s时，存在某个时刻,使得以P,D,M为顶点的三角形与△QBM全等.