《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

14. (2024·丰县期中改编)材料阅读：“对称补缺”是解决与轴对称图形有关问题的一种添加辅助线的常用策略.例：如图1,$\triangle ABC$中,$BM是\triangle ABC$的平分线,$AN\perp BM交BM的延长线于点N$.如图2,延长$AN$,$BC交于点D$,即可构造出轴对称图形$\triangle ABD$,进而得到边、角之间特殊的数量关系,为解决问题提供思路.
迁移应用：如图3,$\triangle ABC$中,若$\angle ACB= 90^{\circ }$,$AC= BC$,$AM是\angle CAB$的角平分线,交$BC于点M$,$BN\perp AM$,垂足为点$N$.若$BN= 7$,求$AM$的长.
]

答案：
如图,延长BN,AC交于点D.
∵BN⊥AM,∠ACB=90°,
∴∠ANB=∠ACB=90°.又
∵∠BMN=∠AMC,
∴∠MBN=∠CAM.在△BDC和△AMC中,{∠BCD=∠ACM=90°,BC=AC,∠CBD=∠CAM,
∴△BDC≌△AMC(ASA),
∴BD=AM.
∵AM是∠CAB的角平分线,BN⊥AM,
∴∠BAN=∠DAN,∠ANB=∠AND=90°.在△ABN和△ADN中,{∠BAN=∠DAN,AN=AN,∠ANB=∠AND,
∴△ABN≌△ADN(ASA),
∴BN=DN,即BD=2BN,
∴AM=BD=2BN=14.

15. (2024·扬州江都区期中)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D为BC$的中点.
(1)如图1,过点$D作DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分别为$E$,$F$.求证：$\angle EDF= 2\angle B$.
(2)点$M$,$N分别在AB$,$AC$上,若$\angle MDN= 2\angle B$.
①如图2,求证：$DM= DN$；
②如图3,若$MD= MB$,连接$MN$,$G为MN$的中点,连接$DG$,求$\frac{DG}{BC}$的值.
]

答案：

(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°,
∴∠EDB=∠FDC=90°-∠B,
∴∠EDF=180°-2(90°-∠B)=2∠B.
(2)①如图1,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.由
(1),得∠EDF=2∠B.
∵∠MDN=2∠B,
∴∠EDF=∠MDN,
∴∠EDF-∠MDF=∠MDN-∠MDF,即∠EDM=∠FDN.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD.在△BDE和△CDF中,{∠DEB=∠DFC,∠B=∠C,BD=CD,
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF.在△EMD与△FND中,{∠EDM=∠FDN,DE=DF,∠DEM=∠DFN,
∴△EMD≌△FND(ASA),
∴DM=DN.②如图2,过点M作MH⊥BC于点H.
∵MD=MB,MH⊥BC,
∴BH=DH,∠MDB=∠B.由①,得DM=DN.
∵G为MN的中点,
∴MG=GN,∠GDM=∠GDN,DG⊥MN,
∴∠DGM=∠DHM=90°.
∵∠MDN=2∠B,
∴∠MDG=∠B=∠MDH.在△MGD和△MHD中,{∠MDG=∠MDH,∠DGM=∠DHM,MD=MD,
∴△MGD≌△MHD(AAS),
∴DG=DH.
∵DH=$\frac{1}{2}$BD,
∴DG=$\frac{1}{2}$BD.又
∵BD=$\frac{1}{2}$BC,
∴DG=$\frac{1}{4}$BC,
∴$\frac{DG}{BC}$=$\frac{1}{4}$.