《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

6. (2024·扬州广陵区校级月考)如图,在$\triangle ABC$中,$BE$,$CF分别是AC$,$AB$两边上的高,在$BE上截取BD = AC$,在$CF的延长线上截取CG = AB$,连接$AD$,$AG$。判断$AD与AG$的位置关系,并说明理由。
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答案： AD与AG的位置关系是AD⊥AG.理由如下：
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠HFB=∠HEC=90°.又
∵∠BHF=∠CHE,
∴∠ABD=∠ACG.在△ABD和△GCA中，$\left\{\begin{array}{l} AB=GC,\\ ∠ABD=∠GCA,\\ BD=CA,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△GCA(SAS),
∴∠ADB=∠GAC.又
∵∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,
∴∠AED=∠GAD=90°,
∴AD⊥AG.

7. (2023·射阳县期末)如图,由$25$个同样大小的小正方形组成的正方形网格中,$\triangle ABC$是格点三角形(每个顶点都在格点上),在这个正方形网格中画另一个格点三角形,使得它与$\triangle ABC$全等且仅有一条公共边,则符合要求的三角形共能画(B)

A.$5$个
B.$6$个
C.$7$个
D.$8$个
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答案： B

8. (2024·高邮市期末)如图,已知$AB = DC$,$AD = BC$,$E$,$F是DB$上两点,且$BF = DE$,若$\angle AEB = 120^{\circ}$,$\angle ADB = 30^{\circ}$,则$\angle BCF = $90$^{\circ}$。
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答案： 90 解析：
∵DC=AB,BC=AD,BD=DB,
∴△BCD≌△DAB(SSS),
∴∠CBD=∠ADB=30°,∠CDF=∠ABE.
∵BF=DE,
∴BF - EF=DE - EF,即BE=DF.在△CDF和△ABE中,CD=AB,∠CDF=∠ABE,DF=BE,
∴△CDF≌△ABE(SAS),
∴∠CFD=∠AEB=120°.
∵∠CFD=∠CBD+∠BCF,
∴∠BCF=∠CFD - ∠CBD=120° - 30°=90°.

9. (2024·建湖县期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB＞BC$,点$D在边BC$上,且$DC = 3BD$,点$E$,$F在线段AD$上,满足$\angle BED= \angle CFD= \angle BAC$,若$S_{\triangle ABC}= 24$,则$S_{\triangle ABE}+S_{\triangle CDF}= $18。
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答案： 18 解析：
∵∠BED=∠CFD=∠BAC,∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠CFD=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA.又
∵AB=AC,
∴△ABE≌△CAF(ASA),
∴$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ACF}$,
∴$S_{\triangle ABE}+S_{\triangle CDF}=S_{\triangle ACD}$.
∵$S_{\triangle ABC}=24$,DC=3BD,
∴BC∶DC=4∶3,
∴$S_{\triangle ACD}=24× \frac{3}{4}=18$.

10. (2024·南通通州区校级月考)如图,要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,其中$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来(用无刻度的直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹),并加以证明。
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答案：
如图,作∠A的平分线AD交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E，则△ACD,△AED,△BED即为所求的三块土地.

证明:由作图,得AD平分∠CAB,DE⊥AB,
∴∠CAD=∠EAD,∠AED=∠BED=90°.在△CAD和△EAD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CAD=∠EAD,\\ ∠C=∠AED=90°,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
∴△CAD≌△EAD(AAS).
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=90° - ∠B=60°,
∴∠EAD=$\frac{1}{2}× 60°=30°$,
∴∠EAD=∠B.在△AED和△BED中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EAD=∠B,\\ ∠AED=∠BED,\\ DE=DE,\end{array}\right. $
∴△AED≌△BED(AAS),
∴△CAD≌△EAD≌△EBD,即△ACD,△AED,△BED为所求的三块土地.