《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. 例：如图 1,平面直角坐标系 $xOy$ 中有点 $B(2,3)$ 和 $C(5,4)$,求 $\triangle OBC$ 的面积.
解：过点 $B$ 作 $BD\perp x$ 轴于点 $D$,过点 $C$ 作 $CE\perp x$ 轴于点 $E$.
由题意,得 $S_{\triangle OBC}= S_{梯形 BDEC}+S_{\triangle OBD}-S_{\triangle OCE}$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}(BD + CE)(OE - OD)+\frac{1}{2}OD\cdot BD-\frac{1}{2}OE\cdot CE\\&=\frac{1}{2}×(3 + 4)×(5 - 2)+\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×5×4\\&=3.5.\end{aligned} $
$\therefore\triangle OBC$ 的面积为 $3.5$.
(1) 如图 2,若 $B(x_{1},y_{1})$,$C(x_{2},y_{2})$ 均为第一象限的点,$O$,$B$,$C$ 三点不在同一条直线上. 仿照例题的解法,求 $\triangle OBC$ 的面积；(用含 $x_{1}$,$x_{2}$,$y_{1}$,$y_{2}$ 的代数式表示)
(2) 如图 3,若三个点的坐标分别为 $A(2,5)$,$B(7,7)$,$C(9,1)$,求四边形 $OABC$ 的面积.

答案：
1.
(1)如图1,过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E.由题意,得S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD - S△OCE
=$\frac{1}{2}$(y1+y2)(x2 - x1)+$\frac{1}{2}$x1y1 - $\frac{1}{2}$x2y2
=$\frac{1}{2}$(x2y1 - x1y2)
=$\frac{1}{2}$x2y1 - $\frac{1}{2}$x1y2.
∴△OBC的面积为$\frac{1}{2}$x2y1 - $\frac{1}{2}$x1y2.
　　　　
(2)如图2,过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F.
∵A(2,5),B(7,7),C(9,1)
∴S四边形OABC=S△AOD+S梯形ADEB+S梯形BEFC - S△COF
=$\frac{1}{2}$×2×5+$\frac{1}{2}$×(5 + 7)×(7 - 2)+$\frac{1}{2}$×(7 + 1)×(9 - 7)-$\frac{1}{2}$×9×1
=5 + 30 + 8 - 4.5
=38.5,
∴四边形OABC的面积为38.5.
　　　　

2. (2024·太仓市期中) 如图,在平面直角坐标系中,点 $A$ 的坐标为 $(3,0)$,点 $B$ 的坐标为 $(0,2)$,点 $C$ 的坐标为 $(2,4)$,求四边形 $OACB$ 的面积. (用两种方法解题)

答案：
2. 方法1:如图1,过点C作CD⊥x轴于点D.
∵A(3,0),B(0,2),C(2,4),
∴OA = 3,OB = 2,OD = 2,CD = 4,
∴AD = OA - OD = 1,
∴S四边形OACB=S△ACD+S梯形OBCD=$\frac{1}{2}$AD·CD+$\frac{1}{2}$(OB + CD)·OD=$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×(2 + 4)×2 = 8.
　
方法2:如图2,过点C作CE⊥y轴于点E.
由题意,得S四边形OACB=S梯形OACE - S△BCE.
∵A(3,0),B(0,2),C(2,4),
∴OA = 3,OB = 2,OE = 4,CE = 2,
∴BE = OE - OB = 2,
∴S四边形OACB=S梯形OACE - S△BCE=$\frac{1}{2}$(CE + OA)·OE - $\frac{1}{2}$BE·CE=$\frac{1}{2}$×(2 + 3)×4 - $\frac{1}{2}$×2×2 = 8.