《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

4. 【探究发现】(1) 如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中,若 $ AD $ 平分 $ \angle BAC $,$ AD \perp BC $ 时,可以得出 $ AB = AC $,$ D $ 为 $ BC $ 的中点,请用所学知识证明此结论。
【学以致用】(2) 已知：$ Rt \triangle BEF $ 和等腰 $ Rt \triangle ABC $ 有一个公共的顶点 $ B $。如图 2,若顶点 $ C $ 与顶点 $ F $ 也重合,且 $ \angle BFE = \frac{1}{2} \angle ACB $,试探究线段 $ BE $ 和 $ DF $ 的数量关系,并证明。
【拓展应用】(3) 如图 3,若顶点 $ C $ 与顶点 $ F $ 不重合,但是 $ \angle BFE = \frac{1}{2} \angle ACB $ 仍然成立,(2) 中的结论还成立吗？证明你的结论。

答案：
(1)在题图1中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC.
在△ADB和△ADC中，{∠ADB=∠ADC=90°，
AD=AD，
∠BAD=∠CAD，
∴△ADB≌△ADC(ASA)，
∴AB=AC，BD=DC(即D为BC的中点).
(2)结论:DF=2BE.理由如下:
如图1，在题图2中，延长BE交CA的延长线于点K.
∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，
∴CB=CK，BE=KE.
由题意，得∠CAD=∠BAK=∠CEK=90°，
∴∠ACE+∠K=90°，∠ABK+∠K=90°，
∴∠ACE=∠ABK，即∠ACD=∠ABK.
在△CAD和△BAK中，{∠CAD=∠BAK，
AC=AB，
∠ACD=∠ABK，
∴△CAD≌△BAK(ASA)，
∴CD=BK，
∴CD=2BE，即DF=2BE.
(3)结论不变:DF=2BE.理由如下:
如图2，在题图3中，作FK//CA交BE的延长线于点K，交AB于点J.
由题意，得∠JBF=∠ACB=45°.
∵FK//AC，
∴∠FJB=∠A=90°，∠BFK=∠ACB=45°，
∴∠JBF=∠BFK=45°，
∴△BJF是等腰直角三角形.
∵∠BFE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠BFJ=∠ACB，
∴∠BFE=$\frac{1}{2}$∠BFJ.
由
(2)，知DF=2BE.

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是角平分线,过点 $ B $ 作 $ AD $ 的垂线交 $ AD $ 于点 $ E $,$ \angle ABE = 2 \angle C $。求证：$ AC - AB = 2BE $。

答案： 如图，延长BE交AC于点F.
∵AE⊥BE，AD是角平分线，
∴AB=AF，
∴BF=2BE，∠ABE=∠AFE.
∵∠ABE=2∠C，
∴∠AFE=2∠C.
∵∠AFE=∠CBF+∠C，
∴∠C=∠CBF，
∴CF=BF.
∵AC - AB=AC - AF=CF=BF，
∴AC - AB=2BE.

6. 如图,$ \angle BAD = 120° $,$ BD = DC $,且 $ AB + AD = AC $。求证：$ AC $ 平分 $ \angle BAD $。

答案： 如图，延长BA到点E，使AE=AD，连接ED.
∵∠BAD=120°，
∴∠EAD=60°，
∴△EAD是等边三角形，
∴∠E=60°，ED=AD.
∵AB+AD=AC，AB+AE=BE，且AE=AD，
∴BE=AC.
在△BDE和△CDA中，{ED=AD，
BE=CA，
BD=CD，
∴△BDE≌△CDA(SSS)，
∴∠E=∠CAD=60°，
∴∠BAC=∠BAD - ∠CAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AC平分∠BAD.