《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

7. 如图,在五边形$ABCDE$中,对角线$AC= AD$,$AB= DE$,$BC= EA$,$\angle CAD= 65^{\circ}$,$\angle B= 110^{\circ}$,则$\angle BAE$的大小是 (A)

A.$135^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$105^{\circ}$

答案： A

8. 如图,若$AB= AC$,$BD= CD$,$\angle B= 20^{\circ}$,$\angle BDC= 120^{\circ}$,则$\angle A$的度数为80$^{\circ}$.

答案： 80 解析:过点A,D作射线AF.在△BAD和△CAD中,AB=AC,AD=AD,BD=CD.
∴△BAD≌△CAD(SSS).
∴∠BAD=∠CAD,∠B=∠C=20°.
∵∠BDF=∠B+∠BAD,∠CDF=∠C+∠CAD,
∴∠BDF+∠CDF=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD,
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC.
∵∠C=∠B=20°,∠BDC=120°,
∴∠BAC=120° - 20° - 20°=80°.

9. (2024·南通海门区期中)如图,四边形$ABCD$中,$AD= CD$,$AB= CB$,$DE// AB交BC于点E$,$BC= 10$,$CE= 4$,则$DE$的长为______.

6

答案： 6 解析:过点E作EF⊥BD于点F,则∠DFE=∠BFE=90°.在△ABD和△CBD中,AD=CD,AB=CB,BD=BD.
∴△ABD≌△CBD (SSS).
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE//AB,
∴∠EDB=∠ABD.
∴∠EDB=∠CBD.又
∵EF=EF,
∴△DEF≌△BEF(AAS).
∴DE=BE.
∵BC=10,CE=4,
∴BE=BC - CE=6,
∴DE=6.

10. (2024·镇江新区期中)如图,$\angle AOB\lt 90^{\circ}$,点$M在OB$上,且$OM= 6$,点$M到射线OA的距离为a$,点$P在射线OA$上,$MP= x$,若$\triangle OMP$的形状,大小是唯一确定的,则$x$的取值范围是x=a或x≥6.

答案： x=a或x≥6 解析:当MP⊥OA时,PM=x=a,△OMP是直角三角形,△OMP的形状、大小是唯一确定的(由∠O,∠OPM,OM确定,及“ASA”可作唯一的△OMP);当a＜x＜6时,有两种情况(图中点P₁和点P₂的位置.由OM,MP,∠O确定,属于“SSA”类型,无法作出唯一的△OMP);当x≥6时,△OMP的形状、大小是唯一确定的(MP确定,OP随之确定,由OM,MP,OP确定及“SSS”可作唯一的△OMP).综上可知,x的取值范围是x=a或x≥6.

11. (2024·南京秦淮区校级月考)求证:有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.
已知:如图,在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,$AD$,$A'D'分别是边BC$,$B'C'$上的中线,$AB= A'B'$,$BC= B'C'$,$AD= A'D'$.求证:$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$.
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答案：
∵AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC,B'D'=$\frac{1}{2}$B'C'.
又
∵BC=B'C',
∴BD=B'D'.
在△ABD和△A'B'D'中,$\left\{\begin{array}{l} AB=A'B',\\ AD=A'D',\\ BD=B'D',\end{array}\right. $
∴△ABD≌△A'B'D'(SSS).
∴∠B=∠B'.
在△ABC和△A'B'C'中,$\left\{\begin{array}{l} AB=A'B',\\ ∠B=∠B',\\ BC=B'C',\end{array}\right. $
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).

12. (2023·泰州高港区期末改编)如图,已知$AB= CD= AE= BC+DE= 2$,$\angle ABC= \angle AED= 90^{\circ}$,求五边形$ABCDE$的面积.
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答案： 如图,延长DE到点F,使EF=BC,连接AC,AD,AF.
在△ABC和△AEF中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AE,\\ ∠B=∠AEF=90°,\\ BC=EF,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△AEF(SAS).
∴AC=AF.
∵CD=BC+DE,EF=BC,
∴CD=DF.
在△ACD和△AFD中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AF,\\ CD=FD,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△AFD(SSS).
∵△ABC≌△AEF,
∴S△ABC=S△AEF,
∴S五边形ABCDE=S△ABC+S四边形AEDC=S△AEF+S四边形AEDC=2S△ADF,
∵AB=CD=AE=2,∠AED=90°,
∴S△ADF=$\frac{1}{2}$DF·AE=$\frac{1}{2}$CD·AE=2,
∴S五边形ABCDE=2×2=4,即五边形ABCDE的面积为4.