《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

3. 如图,在平面直角坐标系中,$A(-2,0)$,$C(2,2)$,过点 $C$ 作 $CB\perp x$ 轴,在 $y$ 轴上是否存在点 $P$,使得 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ACP$ 的面积相等？若存在,求出点 $P$ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
3. 存在.
∵C(2,2),CB⊥x轴,
∴B(2,0),
∴BC = 2 - 0 = 2.
∵A(-2,0),B(2,0),
∴AB = 2 - (-2)=4,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×4×2 = 4.
由题意，设点P的坐标为(0,t).
当点P(图中点P1)在直线AC的上方时(t＞0),
由图,得S△AP₁C=S△AP₁O+S梯形OP₁CB - S△ABC.
又
∵S△AP₁C=S△ABC,
∴S△ABC=S△AP₁O+S梯形OP₁CB - S△ABC,
∴S△AP₁O+S梯形OP₁CB = 2S△ABC
∴$\frac{1}{2}$AO·OP₁+$\frac{1}{2}$(BC + OP₁)·OB = 2S△ABC,
∴$\frac{1}{2}$×2×t+$\frac{1}{2}$×(2 + t)×2 = 8,解得t = 3,
此时点P₁的坐标为(0,3);
当点P(图中点P₂)在直线AC的下方时,
由图,得S△AP₂C+S△BP₂C=S△AP₂B+S△ABC.
又
∵S△AP₂C=S△ABC,
∴S△BP₂C=S△AP₂B,
∴$\frac{1}{2}$BC·OB=$\frac{1}{2}$AB·OP₂,
∴$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{1}{2}$×4|t|,解得t = 1或 - 1.
当t = 1时,A,P₂,C三点共线,不符合题意;
当t = - 1时,A,P₂,C三点可构成三角形,符合题意.
此时点P₂的坐标为P₂(0,-1).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
综上可知,存在点P(0,3)或P(0,-1),使得△ABC和△ACP的面积相等.

4. 如图,在平面直角坐标系中,已知 $A(0,-2)$,$B(6,0)$,$C(3,3)$. 若点 $P$ 在坐标轴上,且 $S_{\triangle PAB}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$,求点 $P$ 的坐标.

答案：
4. 如图,过点C作DE//x轴,交y轴于点D;过点B作BE⊥CD,交CD于点E.
　　　　　　　
∵A(0,-2),B(6,0),C(3,3).
∴OA = 2,OD = BE = 3,CD = 3,OB = DE = 6,
∴AD = OA + OD = 5,CE = DE - CD = 3,
∴S△ABC=S梯形ABED - S△ACD - S△BCE=$\frac{1}{2}$(BE + AD)·DE - $\frac{1}{2}$AD·CD - $\frac{1}{2}$BE·CE=$\frac{1}{2}$×(3 + 5)×6 - $\frac{1}{2}$×5×3 - $\frac{1}{2}$×3×3 = 24 - 7.5 - 4.5 = 12.
∵S△PAB=$\frac{1}{2}$S△ABC,
∴S△PAB=$\frac{1}{2}$×12 = 6.
由题意，分如下两种情形:
①当点P在x轴上时,
设点P(m,0),则BP = |m - 6|.
此时S△PAB=$\frac{1}{2}$BP·OA,
∴$\frac{1}{2}$|m - 6|×2 = 6,解得m = 0或m = 12,
则点P₁(0,0),P₂(12,0).
②当点P在y轴上时,
设点P(0,n),则AP = |n - (-2)| = |n + 2|.
此时S△PAB=$\frac{1}{2}$AP·OB,
∴$\frac{1}{2}$|n + 2|×6 = 6,解得n = 0或n = - 4,
则点P₁(0,0),P₃(0,-4).
综上可知，点P的坐标为(0,0)或(12,0)或(0,-4).

5. (2024·无锡梁溪区校级月考) 如图,在平面直角坐标系中,已知 $A(a,0)$,$B(b,0)$,其中 $a$,$b$ 满足 $\sqrt{a + 1}+(b - 3)^{2}= 0$.
(1) 填空：$a=$-1,$b=$3；
(2) 若在第三象限内有一点 $M(-2,m)$,用含 $m$ 的式子表示 $\triangle ABM$ 的面积；
(3) 在 (2) 的条件下,线段 $BM$ 与 $y$ 轴相交于 $C(0,-0.9)$,当 $m = -1.5$ 时,点 $P$ 是 $y$ 轴上的动点,当满足 $\triangle PBM$ 的面积是 $\triangle ABM$ 的面积的 $2$ 倍时,求点 $P$ 的坐标.

(2)∵a = - 1,b = 3,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB = 4.
∵M(-2,m),且M在第三象限，
∴m＜0,
∴S△ABM=$\frac{1}{2}$×4×(-m)= - 2m.
(3)当m = - 1.5时,则M(-2,-1.5),S△ABM= - 2m = - 2×(-1.5)=3.
∵S△PBM=2S△ABM = 6,且S△PBM=S△MPC+S△BPC,
∴$\frac{1}{2}$PC×2+$\frac{1}{2}$PC×3 = 6,
∴PC = 2.4.
∵C(0,-0.9),
∴OC = 0.9.
当点P在点C的下方时,P(0,-2.4 - 0.9),即P(0,-3.3);
当点P在点C的上方时,P(0,2.4 - 0.9),即P(0,1.5).
综上可知,点P的坐标为(0,-3.3)或(0,1.5).

答案： 5.
(1)-1　3
(2)
∵a = - 1,b = 3,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB = 4.
∵M(-2,m),且M在第三象限，
∴m＜0,
∴S△ABM=$\frac{1}{2}$×4×(-m)= - 2m.
(3)当m = - 1.5时,则M(-2,-1.5),S△ABM= - 2m = - 2×(-1.5)=3.
∵S△PBM=2S△ABM = 6,且S△PBM=S△MPC+S△BPC,
∴$\frac{1}{2}$PC×2+$\frac{1}{2}$PC×3 = 6,
∴PC = 2.4.
∵C(0,-0.9),
∴OC = 0.9.
当点P在点C的下方时,P(0,-2.4 - 0.9),即P(0,-3.3);
当点P在点C的上方时,P(0,2.4 - 0.9),即P(0,1.5).
综上可知,点P的坐标为(0,-3.3)或(0,1.5).