《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

6. (2024·南京建邺区校级期末)如图,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$B$,$C$,$E$共线,则$\alpha$,$\beta$,$\gamma$之间的数量关系是(C)

A.$\alpha+\beta=\gamma$
B.$2\alpha-\beta=\gamma$
C.$2\beta-\alpha=\gamma$
D.$2\gamma-\alpha=\beta$

答案： C

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 3$,$BC = 4$,点$D是BC$中点,点$P是线段BC$上一个动点,若$S_{\triangle ACD}= 2$,则$AP$的最小值是(C)

A.$1$
B.$1.5$
C.$2$
D.$2.5$

答案： C　解析:
∵点D是BC中点，
∴CD= $\frac{1}{2}$BC=2.
∵点P是线段BC上一个动点，
∴当AP⊥BC时，AP取最小值.
∵S△ACD=2，
∴$\frac{1}{2}$AP最小值·CD=2，
∴AP的最小值是2.

8. (2024·东台市期末)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C＞\angle B$,$AE$是中线,$AD$是角平分线,$AF$是高,则下列说法中正确的是______.(填序号)

①②

答案： ①②　解析:在△ABC中，AE是中线，
∴BE=CE，说法①正确；在Rt△AFC中，∠C+∠CAF=90°，说法②正确；
∵△ABD与△ACD的高相等，底BD＞CD，
∴S△ABD＞S△ACD，说法③错误；由题意，得∠ADF=90° - ∠DAF.
∵AD是角平分线，
∴∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠ADF是△ABD的外角，
∴∠ADF=∠B+∠BAD=∠B+ $\frac{1}{2}$∠BAC=∠B+ $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C)=∠B+90° - $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C=90° - $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)，说法④错误.

9. (2024·南京玄武区期末)如图,$BD是\triangle ABC$的中线,$O是BD$上一点,$OB = 2OD$,连接$AO并延长交BC于点E$.若$\triangle BOE的面积为2$,则$\triangle ABC$的面积是______12.

答案： 12　解析:连接DE.
∵OB=2OD，
∴S△BOE=2S△DOE，S△AOB=2S△AOD.
∵△BOE的面积为2，
∴S△DOE=1.设S△AOD=a，则S△AOB=2a，
∴S△ADB=S△AOD+S△AOB=a+2a=3a.
∵BD是△ABC的中线，
∴S△ADB=S△CDB，S△ADE=S△CDE.
∵S△ADE=S△AOD+S△DOE=a+1，
∴S△CDE=a+1，
∴S△CDB=S△BOE+S△DOE+S△CDE=2+1+a+1=4+a，
∴3a=4+a，解得a=2，
∴S△ADB=S△CDB=6，
∴S△ABC=S△ADB+S△CDB=12.

10. (2023·泗洪县期中)用两种不同的方法把一个大三角形分成四个小三角形,使它们的面积相等,并简单说明你的方法.
方法1：

方法2：

答案：
方法1:如图1，取BC的中点D，再分别取BD，CD的中点E，F，连接AE，AD，AF，则AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形.理由如下:
∵点D为BC的中点，点E，F分别为BD，CD的中点，
∴BE=ED=DF=FC，
∴△ABE，△AED，△ADF和△AFC等底同高，
∴S△ABE=S△AED=S△ADF=S△AFC，
∴AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形.

方法2:如图2，取BC的中点P，AB的中点M，AC的中点N，连接AP，PM，PN，则AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形.理由如下:
∵点P为BC的中点，
∴△ABP和△ACP等底同高，
∴S△ABP=S△ACP.
∵点M为AB的中点，
∴△APM和△BPM等底同高，
∴S△APM=S△BPM= $\frac{1}{2}$S△ABP.
同理可得S△APN=S△CPN= $\frac{1}{2}$S△ACP，
∴S△APM=S△BPM=S△APN=S△CPN，
∴AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形.
(答案不唯一)

11. (2024·沭阳县月考)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
(1)如图1,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 3$,$AC = 4$,$AB = 5$,$CD\perp AB$,则$CD = $$\frac{12}{5}$；
(2)如图2,在$\triangle ABC$中,$AB = 4$,$BC = 2$,则$\triangle ABC的高CD与AE$的比是1:2；
(3)如图3,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}(\angle A＜\angle ABC)$,点$D$,$P分别在边AB$,$AC$上,且$BP = AP$,$DE\perp BP$,$DF\perp AP$,垂足分别为点$E$,$F$.若$BC = 5$,求$DE + DF$的值.

答案：
(1) $\frac{12}{5}$　解析:在题图1中，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC= $\frac{1}{2}$AC·BC= $\frac{1}{2}$AB·CD，
∴CD= $\frac{AC·BC}{AB}$= $\frac{4×3}{5}$= $\frac{12}{5}$.
(2)1:2　解析:在题图2中，
∵S△ABC= $\frac{1}{2}$AB·CD= $\frac{1}{2}$BC·AE，
∴4CD=2AE，即2CD=AE，
∴CD:AE=1:2.
(3)
∵S△ABP= $\frac{1}{2}$AP·BC，S△ADP= $\frac{1}{2}$AP·DF，S△BDP= $\frac{1}{2}$BP·DE，且S△ABP=S△ADP+S△BDP，
∴S△ABP= $\frac{1}{2}$BP·DE+ $\frac{1}{2}$AP·DF= $\frac{1}{2}$AP·BC.
又
∵BP=AP，
∴$\frac{1}{2}$AP·DE+ $\frac{1}{2}$AP·DF= $\frac{1}{2}$AP·BC，
∴DE+DF=BC.
又
∵BC=5，
∴DE+DF=5.