《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

7. (2024·宿迁宿豫区期末)如图,在△ABC和△CDE中,∠ACB= ∠CED= 90°,AB= CD,CE= AC,则下列结论中错误的是(D)

A.△ABC≌△CDE
B.∠CAB= ∠DCE
C.AB⊥CD
D.E为BC中点

答案： D

8. (2024·海安市期末)如图,△ABC中,∠A= 24°,△DEF中,∠F= 66°,边BC,EF上的高相等,若AC= DF,则∠B的度数为42°.

答案： 42　解析:如图,作AG⊥BC交BC的延长线于点G,作DH⊥EF 于点H,则∠G=∠DHF=90°.
∵△ABC,△DEF的BC,EF边上的高相等，
∴AG=DH.又
∵AC=DF,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH (HL),
∴∠ACG=∠F=66°.
∵∠ACG=∠B+∠BAC,且∠BAC=24°,
∴∠B=∠ACG−∠BAC=42°.

9. 如图,∠C= 90°,AC= 10,BC= 5,AX⊥AC,点P和点Q从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB= PQ,当点P运动到AP= ______5或10,△ABC与△APQ全等.

答案： 5或10　解析:
∵AX⊥AC,
∴∠PAQ=90°,
∴∠C=∠PAQ.由于斜边AB和PQ相等，故由“HL”判定△ABC与△APQ全等，则有两种情况:①当AP=BC=5时,Rt△ABC≌Rt△QPA;②当AP=CA=10时,Rt△ABC≌Rt△PQA.

10. (2024·南京江宁区校级月考)求证:有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.(需写出已知、求证、证明)

答案：
已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠ACB=∠A'C'B'=90°,CD⊥AB于点D,C'D'⊥A'B'于点D',BC=B'C',CD=C'D'求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.证明:
∵CD⊥AB,C'D'⊥A'B',
∴∠CDB=∠C'D'B'=90°.在Rt△CDB与Rt△C'D'B'中,{BC=B'C',CD=C'D',
∴Rt△CDB≌Rt△C'D'B'(HL),
∴∠B=∠B'.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,{∠ACB=∠A'C'B'=90°,CB=C'B',∠B=∠B',
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(ASA).

11. 在△ABC中,OE⊥AB,OF⊥AC且OE= OF.
(1)如图1,当点O是边BC的中点时,AB______AC;(填“＞”“＜”或“=”)
(2)如图2,当点O在△ABC内部,且OB= OC时,判断AB与AC的数量关系,并证明;
(3)当点O在△ABC外部,且OB= OC时,判断AB与AC的数量关系.(画出图形,写出结果即可,无需说明理由)
]

答案：

(1)=
(2)AB与AC的数量关系为AB=AC.证明如下:连接AO.在Rt△OBE和Rt△OCF中,{OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL),
∴BE=CF.在Rt△AOE和Rt△AOF中,{OE=OF,AO=AO,
∴Rt△AOE≌Rt△AOF(HL),
∴AE=AF,
∴BE+AE=CF+AF,即AB=AC.
(3)①如图1,当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时,AB=AC;②如图2,当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时,AB≠AC. (图形不唯一，符合题意即可)