《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

4. 当几何图形中,两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系,我们称之为“半角模型”,通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换,使得两个分散的角变换成为一个三角形,相当于构造出两个三角形全等. 如图,在四边形 ABCD 中,AD = CD,∠A = ∠ADC = ∠BCD = 90°,E,F 分别是 AB,BC 边上的点,且∠EDF = 45°,探究图中线段 EF,AE,FC 之间的数量关系,并加以证明.

答案：
$EF=FC+AE$.理由如下:
如图,将$△DAE$绕点D逆时针旋转$90^{\circ }$得到$△DCM.$
　　　　　　　　　　　
由旋转,得$△DAE\cong △DCM,$
$\therefore DE=DM,AE=CM,∠ADE=∠CDM,∠DCM=∠DAE=90^{\circ },$
$\therefore ∠BCD+∠DCM=180^{\circ },\therefore B,C,M$三点共线.
$\because ∠EDF=45^{\circ },∠ADC=90^{\circ },$
$\therefore ∠ADE+∠FDC=∠ADC-∠EDF=45^{\circ }.$
$\therefore ∠CDM+∠FDC=∠ADE+∠FDC=45^{\circ },$
$\therefore ∠MDF=∠EDF=45^{\circ }.$
在$△DEF$和$△DMF$中,$\left\{\begin{array}{l} DE=DM,\\ ∠EDF=∠MDF,\\ DF=DF,\end{array}\right. $
$\therefore △DEF\cong △DMF(SAS),\therefore EF=MF,$
$\therefore EF=MF=FC+CM=FC+AE.$

5. (2024·济南历下区期中)【阅读理解】如图 1,△ABC 中,若 AB = 10,AC = 8,求边 BC 上的中线 AD 的取值范围. 小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法：延长 AD 到点 E,使 DE = AD,连接 BE. 请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB 的理由是 ( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
(2)利用三角形三边关系可以确定 AE 的取值范围,从而可以得到 AD 的取值范围是 ( )
A. 2 ＜ AD ＜ 18
B. 2 ＜ AD ＜ 9
C. 1 ＜ AD ＜ 18
D. 1 ＜ AD ＜ 9
【方法总结】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】(3)如图 2,AD 是△ABC 的中线,AB = AE,AC = AF,∠BAE + ∠CAF = 180°,试判断线段 AD 与 EF 的数量关系,并说明理由.
(4)如图 3,在(3)的条件下,若∠BAE = ∠CAF = 90°,延长 DA 交 EF 于点 G,AD = 2,AG = 3,则△ABC 的面积为 ______.

答案：

(1)B
(2)D
(3)$EF=2AD$.理由如下:
如图1,延长AD到点M,使得$DM=AD$,连接BM,
$\therefore AM=AD+DM=2AD.$
∵AD是$△ABC$的中线,$\therefore BD=CD.$
在$△BDM$和$△CDA$中,$\left\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ ∠BDM=∠CDA,\\ DM=DA,\end{array}\right. $
$\therefore △BDM\cong △CDA(SAS),\therefore BM=AC.$
又$\because AC=AF,\therefore BM=AF.$
$\because △BDM\cong △CDA,\therefore ∠MBD=∠ACD,$
$\therefore BM// AC,\therefore ∠ABM+∠BAC=180^{\circ }.$
$\because ∠BAE+∠CAF=180^{\circ },$
$\therefore ∠BAC+∠FAE=360^{\circ }-(∠BAE+∠CAF)=180^{\circ },$
$\therefore ∠ABM=∠FAE.$
在$△ABM$和$△EAF$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=EA,\\ ∠ABM=∠EAF,\\ BM=AF,\end{array}\right. $
$\therefore △ABM\cong △EAF(SAS),\therefore AM=EF.$
$\because AM=2AD,\therefore EF=2AD.$
　　　　　　
(4)6 解析:如图2,延长AD到点M,使得$DM=AD$,连接BM.由
(3)可得$△ADC\cong △MDB,△ABM\cong △EAF,\therefore ∠BAM=∠E,EF=AM=2AD=2×2=4,S_{△ADC}=S_{△BDM},S_{△ABM}=S_{△AEF}.$
$\because ∠BAE=90^{\circ },∠BAE+∠BAM+∠EAG=180^{\circ },\therefore ∠BAM+∠EAG=180^{\circ }-∠BAE=90^{\circ },\therefore ∠E+∠EAG=90^{\circ }$,即$∠AGE=90^{\circ }$,则$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=S_{△ABD}+S_{△BDM}=S_{△ABM}=S_{△AEF}=\frac {1}{2}EF\cdot AG=\frac {1}{2}×4×3=6$,即$△ABC$的面积为6.