《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

9. (2023·靖江市期末)若$a满足\sqrt{a}= \sqrt[3]{a}$,则$a$的值为(C)
A.1
B.0
C.0 或 1
D.0 或 1 或$-1$

答案： C 解析:$\because \sqrt{a}\geqslant 0$,$\therefore a\geqslant 0$.当$a=0$时,$\sqrt{a}=\sqrt[3]{a}$;当$a=1$时,$\sqrt{a}=\sqrt[3]{a}$.

10. (2024·镇江市期中)已知$\sqrt[3]{2.37}\approx 1.333$,$\sqrt[3]{23.7}\approx 2.827$,则$\sqrt[3]{0.0237}\approx$0.2827.

答案： 0.2827 解析:$\because \sqrt[3]{23.7}\approx 2.827$,$\therefore 23.7\approx 2.827^{3}$,$\therefore \sqrt[3]{0.0237}=\sqrt[3]{23.7× 10^{-3}}\approx \sqrt[3]{2.827^{3}× 10^{-3}}=\sqrt[3]{(2.827× 10^{-1})^{3}}=2.827× 10^{-1}=0.2827$.(被开方数的小数点向左移动3位,其立方根的小数点就相应地向左移动1位)

11. 若把两个半径分别为$1\mathrm{cm}和\sqrt[3]{7}\mathrm{cm}$的铅球熔化后做成一个更大的铅球,则这个大铅球的半径是2cm.(球的体积公式$V= \frac{4}{3}\pi r^{3}$,其中$r$是球的半径)

答案： 2 解析:设熔化后做成的大铅球的半径是$R\ cm$.由题意得,熔化后做成的大铅球的体积为$\dfrac{4}{3}\pi× 1^{3}+\dfrac{4}{3}\pi× (\sqrt[3]{7})^{3}=\dfrac{32}{3}\pi(cm^{3})$,$\therefore \dfrac{32}{3}\pi=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}$,$\therefore R^{3}=8$,$\therefore R=2$.

12. 已知$y= \sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-8$,则$\sqrt[3]{x - 5y}$的值为4.

答案： 4 解析:由题意,得$x-24\geqslant 0$,$24-x=-(x-24)\geqslant 0$,$\therefore x-24=0$,解得$x=24$,$\therefore y=-8$.$\therefore \sqrt[3]{x-5y}=\sqrt[3]{24-5× (-8)}=\sqrt[3]{64}=4$.

13. 求下列各式中未知数$x$的值.
(1)$x^{3}= -\frac{1}{216}$；
(2)$(x - 1)^{3}= 8$；
(3)$27+(2x - 1)^{3}= 0$；
(4)$2(\frac{1}{3}x + 1)^{3}= 250$.

答案：
(1)$x=-\dfrac{1}{6}$
(2)$x=3$
(3)$\because 27+(2x-1)^{3}=0$,$\therefore (2x-1)^{3}=-27$,$\therefore 2x-1=-3$,$\therefore x=-1$.
(4)$\because 2\left( \dfrac{1}{3}x+1\right)^{3}=250$,$\therefore \left( \dfrac{1}{3}x+1\right)^{3}=125$,$\therefore \dfrac{1}{3}x+1=5$,$\therefore x=12$.

14. (2024·龙岩新罗区期末)【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求 59319 的立方根. 华罗庚脱口而出：39. 邻座的乘客十分惊奇,忙问计算的奥妙.
你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试.
第一步：$\because \sqrt[3]{1000}= 10$,$\sqrt[3]{1000000}= 100$,$1000＜59319＜1000000$,
$\therefore 10＜\sqrt[3]{59319}＜100$,$\therefore$能确定 59319 的立方根是个两位数.
第二步：$\because 59319的个位数是9$,$9^{3}= 729$,$\therefore$能确定 59319 的立方根的个位数是 9.
第三步：如果划去 59319 后面的三位 319 得到数 59. $\because \sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{59}＜\sqrt[3]{64}$,$\therefore 3＜\sqrt[3]{59}＜4$,
$\therefore 30＜\sqrt[3]{59319}＜40$,$\therefore$能确定 59319 的立方根的十位数是 3.
综上可知,59319 的立方根是 39.
【解答问题】根据上面材料,解答下面的问题：
(1)根据计算步骤,请计算 12167 的立方根,并书写详细过程；
(2)填空：$\sqrt[3]{0.531441}= $0.81.
(1)第一步:$\because \sqrt[3]{1000}=10$,$\sqrt[3]{1000000}=100$,$1000＜12167＜1000000$,$\therefore 10＜\sqrt[3]{12167}＜100$,$\therefore$能确定12167的立方根是个两位数.第二步:$\because 12167$的个位数是7,$3^{3}=27$,$\therefore$能确定12167的立方根的个位数是3.第三步:如果划去12167后面的三位167得到数12,$\because \sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{12}＜\sqrt[3]{27}$,$\therefore 2＜\sqrt[3]{12}＜3$,$\therefore 20＜\sqrt[3]{12167}＜30$,$\therefore$能确定12167的立方根的十位数是2.综上可知,12167的立方根是23.

答案：
(1)第一步:$\because \sqrt[3]{1000}=10$,$\sqrt[3]{1000000}=100$,$1000＜12167＜1000000$,$\therefore 10＜\sqrt[3]{12167}＜100$,$\therefore$能确定12167的立方根是个两位数.第二步:$\because 12167$的个位数是7,$3^{3}=27$,$\therefore$能确定12167的立方根的个位数是3.第三步:如果划去12167后面的三位167得到数12,$\because \sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{12}＜\sqrt[3]{27}$,$\therefore 2＜\sqrt[3]{12}＜3$,$\therefore 20＜\sqrt[3]{12167}＜30$,$\therefore$能确定12167的立方根的十位数是2.综上可知,12167的立方根是23.
(2)0.81解析:第一步:$\because \sqrt[3]{1000}=10$,$\sqrt[3]{1000000}=100$,$1000＜531441＜1000000$,$\therefore 10＜\sqrt[3]{531441}＜100$,$\therefore$能确定531441的立方根是个两位数.第二步:$\because 531441$的个位数是1,$1^{3}=1$,$\therefore$能确定531441的立方根的个位数是1.第三步:如果划去531441后面的三位数441得到数531.$\because \sqrt[3]{512}＜\sqrt[3]{531}＜\sqrt[3]{729}$,$\therefore 8＜\sqrt[3]{531}＜9$,$\therefore 80＜\sqrt[3]{531441}＜90$,$\therefore$能确定531441的立方根的十位数是8,$\therefore \sqrt[3]{531441}=81$.$\therefore 531441=81^{3}$,$\therefore \sqrt[3]{0.531441}=\sqrt[3]{531441× 10^{-6}}=\sqrt[3]{81^{3}× 10^{-6}}=\sqrt[3]{(81× 10^{-2})^{3}}=81× 10^{-2}=0.81$.