《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

6. 如图,∠A= ∠B= 90°,P是AB的中点,且DP平分∠ADC,连接PC。求证：CP平分∠BCD。
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答案： 过P作$PQ\perp CD$于点Q. $\because \angle A=\angle B=90^{\circ},\therefore AD\perp AB,BC\perp AB.$ $\because P$是AB的中点,$\therefore PA=PB.$ $\because DP$平分$\angle ADC,AD\perp AB,PQ\perp CD,$ $\therefore PA=PQ,\therefore PA=PQ=PB.$ $\because BC\perp AB,PQ\perp CD,\therefore CP$平分$\angle BCD.$

7. (2024·江阴市期中)如图,在△ABC中,PE所在直线是边BC的垂直平分线,过点P作AB,AC(或延长线)的垂线,垂足分别是M,N,且AP平分∠BAC。求证：BM= CN。
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答案：
如图,连接BP,CP. $\because PE$是BC的垂直平分线,$\therefore BP=CP.$ $\because AP$是$\angle BAC$的平分线,$PM\perp AB,PN\perp AC,$ $\therefore PM=PN.$ 在$Rt\triangle BMP$和$Rt\triangle CNP$中,$\left\{\begin{array}{l} PM=PN,\\ PB=PC,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle BMP\cong Rt\triangle CNP(HL),\therefore BM=CN.$
　　　　

8. (2024·扬州江都区期中)为进一步美化校园,我校计划在校园绿化区增设3条绿化带,如图所示,绿化带MN//PQ,绿化带AB交绿化带MN于点A,交绿化带PQ于点B。若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等,则可供选择的喷灌处修建点有( )

A.4处
B.3处
C.2处
D.1处
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答案：
C 解析:如图,$\because \angle BAN$和$\angle ABQ$的平分线的交点到AB,MN,PQ距离相等,$\therefore$这两个角的平分线的交点满足条件.$\because \angle BAM$和$\angle ABP$的平分线的交点到AB,MN,PQ距离相等,$\therefore$这两个角的平分线的交点满足条件.综上可知,可供选择的喷灌处修建点有2处.
　　　　

9. (2024·海安市校级期中)如图,在△ABC中,$S_{△ABC}= 21$,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,点E为AD的中点。连接BE,点F为BE上一点,且BF= 2EF。若$S_{△DEF}= 2$,则AB：AC= ______。

答案：
$4:3$ 解析:$\because BF=2EF,S_{\triangle DEF}=2,\therefore S_{\triangle BDE}=3S_{\triangle DEF}=3× 2=6.$ $\because$点E为AD的中点,$\therefore S_{\triangle ABD}=2S_{\triangle BDE}=2× 6=12.\because S_{\triangle ABC}=21,$ $\therefore S_{\triangle ACD}=21 - 12=9.$如图,过D作$DM\perp AB$于点M,$DN\perp AC$于点N.又$\because AD$是$\angle BAC$的角平分线,$\therefore DM=DN,\therefore \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot DM}{\frac{1}{2}AC\cdot DN}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$,即$AB:AC=4:3.$
　　　　

10. (2025·盐城经开区月考)如图,AB//CD,PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直,若AD= 8cm,BC= 10cm,则四边形ABCD的面积是______$cm^{2}$。

答案：
40 解析:如图,过点P作$PE\perp BC$于点E,则$\angle BEP=\angle CEP=90^{\circ}.\because AD\perp AB,AB// CD,\therefore \angle BAP=\angle CDP=90^{\circ}.\because PB$和PC分别平分$\angle ABC$和$\angle DCB,AD=8\ cm,BC=10\ cm,\therefore AP=EP,$ $PE=DP,\therefore AP=PE=PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}× 8=4(cm).\because BP=BP,AP=EP,\therefore \triangle EBP\cong \triangle ABP(HL),\therefore S_{\triangle EBP}=S_{\triangle ABP}.$同理,得$\triangle ECP\cong \triangle DCP,\therefore S_{\triangle ECP}=S_{\triangle DCP},\therefore S_{四边形ABCD}=2S_{\triangle BCP}=2× \frac{1}{2}BC\cdot PE=10× 4=40(cm^2).$