《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

9. 已知 $8.62^{2}= 74.3044$,若 $x^{2}= 0.743044$,则 $x$ 的值(±0.862)
A.86.2
B.0.862
C.±0.862
D.±86.2

答案： C 解析:$ \because 0.743044=74.3044× 0.1^{2} $,且$ 8.62^{2}=74.3044 $,$ \therefore x^{2}=8.62^{2}× 0.1^{2}=(8.62× 0.1)^{2}=(0.862)^{2} $,$ \therefore x=\pm 0.862 $.(被开方数的小数点向左移动两位,其平方根的小数点就相应地向左移动1位)

10. (2024·泰州海陵区期中)已知实数 $x$,$y$ 满足$\sqrt{x - 2y - 3}+(2x - 3y - 5)^{2}= 0$,则 $x - 8y$ 的平方根为$\pm 3$.

答案： $ \pm 3 $

11. 已知$\sqrt{2a - 1}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$,$3a + b - 1$ 的算术平方根是 4,则 $a + 2b$ 的算术平方根为3.

答案： 3

12. (2024·南通通州区月考)已知 $a + 1 = 2025^{2}+2026^{2}$,则$\sqrt{2a + 1}= $4051.

答案： 4051 解析:$ \because a+1=2025^{2}+2026^{2} $,$ \therefore a+1=2025^{2}+(2025+1)^{2}=2025^{2}+2025^{2}+2× 2025+1=2× 2025^{2}+2× 2025+1 $,$ \therefore a=2× 2025^{2}+2× 2025 $,$ \therefore 2a+1=2×(2× 2025^{2}+2× 2025)+1=4× 2025^{2}+4× 2025+1=2^{2}× 2025^{2}+2× 4050+1=(2× 2025)^{2}+2× 4050+1=4050^{2}+2× 4050+1=(4050+1)^{2}=4051^{2} $,$ \therefore \sqrt{2a+1}=\sqrt{4051^{2}}=4051 $.

13. 求下列各式中 $x$ 的值.
(1)$9x^{2}-25 = 0$；
(2)$(2x - 3)^{2}= 64$；
(3)$16(1 - x)^{2}-9 = 0$；
(4)$48 - 3(x - 2)^{2}= 0$.

答案：
(1)$ x=\frac{5}{3} $或$ x=-\frac{5}{3} $
(2)$ x=5.5 $或$ x=-2.5 $
(3)$ \because 16(1-x)^{2}-9=0 $,$ \therefore (1-x)^{2}=\frac{9}{16} $.$ \therefore 1-x=\pm \frac{3}{4} $,即$ 1-x=\frac{3}{4} $或$ 1-x=-\frac{3}{4} $,$ \therefore x=\frac{1}{4} $或$ x=\frac{7}{4} $.
(4)$ \because 48-3(x-2)^{2}=0 $,$ \therefore (x-2)^{2}=16 $,$ \therefore x-2=\pm 4 $,即$ x-2=4 $或$ x-2=-4 $,$ \therefore x=6 $或$ x=-2 $.

14. 阅读材料：若存在一个数 $i$,使 $i^{2}= -1$,则$(\pm i)^{2}= -1$,因此 -1 就有两个平方根 $i$ 和 -i. 同理,$\because(\pm 2i)^{2}= -4$,$\therefore - 4$ 的平方根是 $\pm 2i$. $\because(\pm 3i)^{2}= -9$,$\therefore - 9$ 的平方根就是 $\pm 3i$.
请你根据上面的材料信息解答下列问题：
(1)分别求 -25,-0.16,-3 的平方根；
(2)$i^{2}= -1$,$i^{3}= -i$,$i^{4}= 1$,$i^{5}= i$,$i^{6}= -1$,$i^{7}= -i$,$i^{8}= 1$,…,你发现了什么规律？请用你发现的规律求 $i^{2024}$ 的值；
(3)求 $i + i^{2}+i^{3}+i^{4}+… + i^{2027}$ 的值.

答案：
(1)$ \because (\pm 5i)^{2}=-25 $,$ \therefore -25 $的平方根是$ \pm 5i $.$ \because (\pm 0.4i)^{2}=-0.16 $,$ \therefore -0.16 $的平方根是$ \pm 0.4i $.$ \because (\pm \sqrt{3}i)^{2}=-3 $,$ \therefore -3 $的平方根是$ \pm \sqrt{3}i $.
(2)$ \because i^{2}=-1 $,$ i^{3}=-i $,$ i^{4}=1 $,$ i^{5}=i $,$ i^{6}=-1 $,$ i^{7}=-i $,$ i^{8}=1 $,...$ \therefore $规律是:从$ i^{1} $开始,结果以$ i,-1,-i,1 $为循环节循环.$ \because 2024÷ 4=506 $,$ \therefore i^{2024}=i^{4}=1 $.
(3)原式$ =(i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5})+\dots+(i^{2021}+i^{2022}+i^{2023}+i^{2024})+(i^{2025}+i^{2026}+i^{2027})=(i-1-i+1)+\dots+(i-1-i+1)+(i-1-i)=-1 $.