《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

8. 在如图所示的平面直角坐标系中, 描出下列各点: $ A(1,1) $, $ B(5,1) $, $ C(3,3) $, $ D(-3,3) $, $ E(-2,2) $, $ F(-2,-4) $, $ G(5,0) $, $ H(3,-4) $, $ I(-1,-4) $, $ J(3,-2) $.
(1) 连接 $ AB $, $ CD $, $ EF $, $ GH $, $ IJ $, 描出它们的中点 $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $, $ R $, 并写出这些中点的坐标;
(2) 将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较, 你发现它们之间有什么关系?
(3) 根据你的发现, 若某线段两端点的坐标分别为 $ (a,b) $, $ (c,d) $, 则该线段的中点坐标为______. (用含 $ a,b,c,d $ 的代数式表示)

答案：
如图，在平面直角坐标系中描出各点如图所示:
(1)如图,点M(3,1),N(0,3),P(−2,−1),Q(4,−2),R(1,−3)即为所求
(2)发现:在平面直角坐标系中，中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数
(3)$\left( \dfrac{a+c}{2},\dfrac{b+d}{2} \right)$

9. 在平面直角坐标系中描出下列两组点, 分别将每组里的点用线段依次连接起来.
第一组: $ A(-3,3) $, $ C(4,3) $; 第二组: $ D(-2,-1) $, $ E(2,-1) $.
(1) 直接写出线段 $ AC $ 与线段 $ DE $ 的位置关系为______.
(2) 在 (1) 的条件下, 线段 $ AC $, $ DE $ 分别与 $ y $ 轴交于点 $ B $, $ F $. 若点 $ M $ 为射线 $ OB $ 上一动点. (不与点 $ O $, $ B $ 重合)
① 当点 $ M $ 在线段 $ OB $ 上运动时, 连接 $ AM $, $ DM $, 补全图形, 用等式表示 $ \angle CAM $, $ \angle AMD $, $ \angle MDE $ 之间的数量关系, 并证明;
② 当点 $ M $ 在线段 $ OB $ 的延长线上时, 连接 $ AM $, $ DM $, 请直接写出 $ \angle CAM $, $ \angle AMD $, $ \angle MDE $ 之间的数量关系.
(3) 请仔细观察你画出的图形, 你还能得出什么结论

答案：

(1)AC//DE
(2)①∠CAM+∠MDE=∠AMD.证明如下: 如图，过点M作直线MN//AC. 由题意，得AC//DE,
∴MN//AC//DE,
∴∠CAM=∠AMN,∠DMN=∠MDE,
∴∠CAM+∠MDE=∠AMN+∠DMN,
∴∠AMD=∠CAM+∠MDE. ②∠MDE=∠AMD+∠CAM.(如图2,由题意，得AC//DE,
∴∠MDE=∠MPC.由三角形外角的性质,得∠MPC=∠AMD+∠CAM,
∴∠MDE=∠AMD+∠CAM)
(3)结论:当点M在线段OB上运动时,∠ACM+∠MED=∠CME.(答案不唯一)