《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC $ 与 $ \angle ACB $ 的平分线交于点 $ P $.设 $ \angle A = x^{\circ} $, $ \angle BPC = y^{\circ} $.当点 $ A $ 的位置发生变化时,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并判断 $ y $ 是不是 $ x $ 的一次函数.

答案： $\because \angle ABC$与$\angle ACB$的平分线交于点P,
$\therefore \angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC$,$\angle PCB=\frac{1}{2}\angle ACB$,
$\therefore \angle BPC=180^{\circ}-\angle PBC-\angle PCB=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$,
又$\because \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A$,
$\therefore \angle BPC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$.
$\because \angle A=x^{\circ}$,$\angle BPC=y^{\circ}$,
$\therefore$ y与x之间的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+90(0＜x＜180)$,y是x的一次函数.

8. 甲、乙两个仓库要向 $ A $, $ B $ 两地运送水泥,已知甲仓库可调出100吨水泥,乙仓库可调出80吨水泥, $ A $ 地需70吨水泥, $ B $ 地需110吨水泥,两仓库到 $ A $, $ B $ 两地的路程和运费如下表(表中运费栏“元/(吨·千米)”表示每吨水泥运送1千米所需费用),设甲仓库运往 $ A $ 地水泥 $ x $ 吨,求总运费 $ y $(元)关于 $ x $(吨)的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.

答案： $\because$甲仓库运往A地水泥x吨,
$\therefore$甲仓库运往B地水泥$(100-x)$吨,乙仓库运往A地水泥$(70-x)$吨,乙仓库运往B地水泥$[80-(70-x)]=(10+x)$吨,
根据题意,得$y=12× 20x+10× 25(100-x)+12× 15× (70-x)+8× 20(10+x)=-30x+39200$.
$\because x\geq 0$,$100-x\geq 0$,$70-x\geq 0$,$10+x\geq 0$,$\therefore 0\leq x\leq 70$.
综上可知,总运费y(元)关于x(吨)的函数表达式为$y=-30x+39200(0\leq x\leq 70)$.

9. 如图, $ \triangle ABC $ 是边长为 $ 2x $ 的等边三角形.
(1)求边 $ BC $ 上的高 $ h $ 关于 $ x $ 的函数表达式, $ h $ 是 $ x $ 的一次函数吗？如果是一次函数,请指出相应的 $ k $ 与 $ b $ 的值；
(2)求 $ \triangle ABC $ 的面积 $ S $ 关于 $ x $ 的函数表达式, $ S $ 是 $ x $ 的一次函数吗？

答案：
(1)过点A作$AD\perp BC$于点D.
$\because \triangle ABC$是等边三角形,且边长为$2x$,
$\therefore AB=2x$,$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$,$\angle ADB=90^{\circ}$,
$\therefore AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$,即$h=\sqrt{3}x$.
h是x的一次函数,$k=\sqrt{3}$,$b=0$.
(2)由题意,得$BC=2x$,$AD=\sqrt{3}x$,
$\therefore S=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot \sqrt{3}x=\sqrt{3}x^{2}$.
S不是x的一次函数.