《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

7. (2024·常州市期中)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ}$,点$D在AC$的右侧,$BD的垂直平分线交AC于E$,交$BD于点F$,若点$E是AC$中点.求证:$∠ADC= 90^{\circ}$.

答案：
如图,连接EB,ED.
∵EF是BD的垂直平分线,
∴BE=DE.在Rt△ABC中,点E是AC中点,
∴BE= $\frac{1}{2}$AC=AE=CE,
∴DE=AE=CE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.在△ACD中,∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠2+∠2+∠4+∠4=180°,即2∠2+2∠4=180°,
∴∠2+∠4=90°,即∠ADC=90°.

8. (2024·高邮市期中)如图,$\triangle ABC中∠C= 90^{\circ}$,$AB= 10$,$AC= 8$,$BC= 6$,线段$DE的两个端点D,E分别在边AC,BC$上滑动,且$DE= 4$,若点$M,N分别是DE,AB$的中点,则$MN$的最小值为( )

A.$2$
B.$3$
C.$3.5$
D.$4$

答案：
B 解析:如图,连接CM,CN.在△ABC中,∠C=90°,AB=10,点N是AB的中点,
∴CN= $\frac{1}{2}$AB=5.同理,得CM= $\frac{1}{2}$DE=2.当C,M,N在同一直线上时,MN取最小值,
∴MN的最小值为5 - 2=3.

9. (2024·江阴市期中)如图,在四边形$ABCD$中,$∠ABC= ∠ADC= 90^{\circ}$,$E为对角线AC$的中点,连接$BE,BD$.若$∠EBD= 35^{\circ}$,则$∠BAD$的度数为(55°)

A.$55^{\circ}$
B.$58^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$68^{\circ}$

答案： A 解析:连接DE.设∠BAD=x.
∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,
∴AE=BE=CE=DE,
∴∠EDB=∠EBD,∠DAE=∠EDA,∠BAE=∠EBA.
∵∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE,∠BEC=∠BAE+∠EBA=2∠BAE,
∴∠DEB=∠DEC+∠BEC=2∠DAE+2∠BAE=2(∠DAE+∠BAE)=2x.
∴∠EBD= $\frac{1}{2}$(180° - ∠DEB)=90° - x.又
∵∠EBD=35°,
∴90° - x=35°,解得x=55°,即∠BAD=55°.

10. (2023·丹阳市期末)如图,在$\triangle ABC$中,$CD是边AB$上的高,$BE是边AC$上的中线,且$BD= AE$,若$∠A= 26^{\circ}$,则$∠DFE$的度数是______$^{\circ}$.

103

答案： 103

11. (2024·苏州姑苏区校级月考)如图,在以$AB为斜边的两个直角三角形ABD和ABC$中,$∠ACB= ∠ADB= 90^{\circ}$,$CD= m$,$AB= 2m$,则$∠AEB= $______$^{\circ}$.

答案：
120 解析:如图,取AB的中点F,连接CF,DF.
∵∠ACB=∠ADB=90°,
∴CF= $\frac{1}{2}$AB=DF.又
∵CD=m,AB=2m,
∴CD= $\frac{1}{2}$AB,
∴CF=DF=CD,
∴△CDF是等边三角形,
∴∠CFD=60°,
∴∠AFC+∠BFD=120°.
∵CF=BF,AF=DF,
∴∠ABE=∠FCB,∠BAE=∠FDA,
∴∠AFC=2∠ABE,∠BFD=2∠BAE,即∠ABE= $\frac{1}{2}$∠AFC,∠BAE= $\frac{1}{2}$∠BFD,
∴∠ABE+∠BAE= $\frac{1}{2}$∠BFD+ $\frac{1}{2}$∠AFC= $\frac{1}{2}$(∠BFD+∠AFC)= $\frac{1}{2}$×120°=60°.在△ABE中,∠AEB=180° - (∠ABE+∠BAE)=120°.

12. (2024·扬州广陵区期中)已知:如图,在四边形$ABCD$中,$∠ABC= ∠ADC= 90^{\circ}$,点$E是AC$的中点.
(1)求证:$\triangle BED$是等腰三角形;
(2)当$∠BCD= $150$^{\circ}$时,$\triangle BED$是等边三角形.

答案：
(1)
∵∠ABC=∠ADC=90°,点E是边AC的中点,
∴BE= $\frac{1}{2}$AC,DE= $\frac{1}{2}$AC,
∴BE=DE,
∴△BED是等腰三角形.
(2)150 解析:
∵AE=ED,
∴∠DAE=∠EDA.
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA.
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC,∠EAB+∠EBA=∠BEC,
∴2∠DAE+2∠EAB=∠DEC+∠BEC,
∴2∠BAD=∠DEB,即∠BAD= $\frac{1}{2}$∠DEB.
∵△BED是等边三角形,
∴∠DEB=60°,
∴∠BAD= $\frac{1}{2}$×60°=30°.
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°,
∴∠BCD=360° - 90° - 90° - 30°=150°.