《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. (2024·睢宁县期中)如图,AD,BC 相交于点 O,连接 AC,BD,且 AD = BC,AC = BD. 求证：OC = OD.

答案： 连接CD.
在△ADC与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l} AD=BC,\\ AC=BD,\\ CD=DC,\end{array}\right. $
$\therefore △ADC\cong △BCD(SSS),\therefore ∠A=∠B.$
在$△AOC$与$△BOD$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠B,\\ ∠AOC=∠BOD,\\ AC=BD,\end{array}\right. $
$\therefore △AOC\cong △BOD(AAS),\therefore OC=OD.$

2. 如图,已知∠1 = ∠2,P 为 BN 上的一点,PF⊥BC 于点 F,BA ＜ BF ＜ BC,PA = PC.
(1)求证：∠PCB + ∠PAB = 180°；
(2)线段 BF,BC,AB 之间有何数量关系？写出你的猜想并证明你的结论.

答案：
(1)过点P作$PE⊥BA$于点E.
$\because PE⊥BA,PF⊥BC,\therefore ∠PEB=∠PFB=90^{\circ }.$
在$△PEB$和$△PFB$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠PEB=∠PFB,\\ ∠1=∠2,\\ PB=PB,\end{array}\right. $
$\therefore △PEB\cong △PFB(AAS),\therefore PE=PF.$
在$Rt△PEA$和$Rt△PFC$中,$\left\{\begin{array}{l} PA=PC,\\ PE=PF,\end{array}\right. $
$\therefore Rt△PEA\cong Rt△PFC(HL),\therefore ∠PAE=∠PCB.$
$\because ∠PAB+∠PAE=180^{\circ },\therefore ∠PCB+∠PAB=180^{\circ }.$
(2)$2BF=AB+BC$.证明如下:
$\because Rt△PEA\cong Rt△PFC,\therefore AE=CF.$
$\because Rt△PBE\cong Rt△PBF,\therefore BE=BF,$
$\therefore 2BF=BE+BF=AB+AE+BF=AB+FC+BF=AB+BC.$

3. 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图 1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠B = 2∠C. 求证：AB + BD = AC.”李老师给出了如下两种思路.
思路一(“截长法”)：如图 2,在 AC 上截取 AE = AB,连接 DE.
思路二(“补短法”)：如图 3,延长 AB 至点 F,使 BF = BD.
请你按照上面两种思路,完成完整的证明.

答案：
思路一(“截长法”):
如图1,在AC上截取$AE=AB$,连接DE.
$\because AD$平分$∠BAC,\therefore ∠BAD=∠DAC.$
在$△ABD$和$△AED$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AE,\\ ∠BAD=∠EAD,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
$\therefore △ABD\cong △AED(SAS),\therefore ∠B=∠AED,BD=DE.$
又$\because ∠B=2∠C,\therefore ∠AED=2∠C.$
又$\because ∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,\therefore ∠C=∠EDC.$
过点E作$EM⊥DC$于点M,则$∠EMD=∠EMC=90^{\circ },$
在$△EMD$和$△EMC$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EDM=∠C,\\ ∠EMD=∠EMC,\\ EM=EM,\end{array}\right. $
$\therefore △EMD\cong △EMC(AAS),\therefore DE=CE,$
$\therefore AB+BD=AE+CE=AC$,即得证.
　　　　
思路二(“补短法”):
如图2,延长AB至点F,使$BF=BD.$
过点B作$BN⊥DF$于点N,
$\therefore △BNF$和$△BND$都是直角三角形.
在$Rt△BNF\cong Rt△BND$中,$\left\{\begin{array}{l} BF=BD,\\ BN=BN,\end{array}\right. $
$\therefore Rt△BNF\cong Rt△BND(HL),$
$\therefore ∠F=∠BDF,\therefore ∠ABD=∠F+∠BDF=2∠F.$
$\because ∠ABD=2∠C,\therefore ∠F=∠C.$
在$△AFD$和$△ACD$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FAD=∠CAD,\\ ∠F=∠C,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
$\therefore △AFD\cong △ACD(AAS),\therefore AC=AF,$
$\therefore AC=AB+BF=AB+BD$,即得证.