《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

3. (2024·唐山丰南区期末改编)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle BAC = \alpha $,$ \triangle AEF $ 是由 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 按逆时针方向旋转得到的,连接 $ BE $,$ CF $,相交于点 $ D $。猜想：在旋转过程中,$ \angle BDC $ 的大小是否会发生变化？试说明理由。

答案： 3. ∠BDC的大小不变.理由如下：
设AE,CF相交于点O.
∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,
∴AF=AC,∠EAF=∠BAC,AE=AB,
∴∠EAF+∠CAE=∠BAC+∠CAE,即∠CAF=∠BAE.
在△ACF和△ABE中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AB,\\ ∠CAF=∠BAE,\\ AF=AE,\end{array}\right. $
∴△ACF≌△ABE(SAS),
∴CF=BE,∠AFC=∠AEB.
∵∠AOC=∠EAF+∠AFC=∠AEB+∠EDF,
∴∠EDF=∠EAF.
又
∵∠EDF=∠BDC,∠EAF=∠BAC,
∴∠BDC=∠BAC=α,
∴∠BDC的大小不变.

4. (2024·无锡锡山区期中改编)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = 6 $,$ BC = 8 $。点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿折线 $ AC - CB $ 以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度向终点 $ B $ 运动,点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发,沿折线 $ BC - CA $ 以每秒 $ 3 $ 个单位长度的速度向终点 $ A $ 运动,$ P $,$ Q $ 两点同时出发。分别过 $ P $,$ Q $ 两点作 $ PE \perp $ 直线 $ l $ 于点 $ E $,$ QF \perp $ 直线 $ l $ 于点 $ F $。设点 $ P $ 的运动时间为 $ t $ s。
(1) 当 $ P $,$ Q $ 两点相遇时,求 $ t $ 的值；
(2) 在整个运动过程中,求 $ CP $ 的长；(用含 $ t $ 的代数式表示)
(3) 当 $ \triangle PEC $ 与 $ \triangle QFC $ 全等时,请直接写出所有满足条件的 $ CQ $ 的长。

答案： 4.
(1)由题意,得t+3t=6+8,解得t=3.5.
∴当P,Q两点相遇时,t的值为3.5.
(2)由题意可知AP=t,
当0≤t≤6时,CP=6 - t;当6＜t≤14时,CP=t - 6.
(3)①当点P在AC上,点Q在BC上时,
∵∠ACB=90°,
∴∠PCE+∠QCF=90°.
∵PE⊥直线l于点E,QF⊥直线l于点F,
∴∠EPC+∠PCE=90°,∠PEC=∠CFQ=90°,
∴∠EPC=∠QCF.
又
∵△PCE≌△CQF,
∴PC=CQ,
∴6 - t=8 - 3t,解得t=1,
∴CQ=8 - 3t=5;
②当点P在AC上,点Q在AC上,即点P,Q重合时,CQ=PC.
由
(1)知,此时t=3.5,
∴CQ=3t - 8=2.5;
③当点P在BC上,点Q在AC上时,只有当点A,Q重合时,
△PEC与△QFC才全等,此时CQ=AC=6.
综上可知,当△PEC与△QFC全等时,满足条件的CQ的长为5或2.5或6.