《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图,在用弦图验证勾股定理时,用到的面积相等关系是(C)

A.$ S_{△ABH}= S_{正方形EFGH} $
B.$ S_{正方形ABCD}= S_{正方形EFGH} $
C.$ S_{正方形EFGH}+4S_{△ABH}= S_{正方形ABCD} $
D.$ 2S_{△ABH}= S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH} $

答案： C

2. 将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案,你能由此确定出直角三角形三边长$ a,b,c $之间的关系吗？试试看.
(1)大正方形的面积可以表示为$(a+b)^{2}$,又可以表示为____$4×\frac {1}{2}ab+c^{2}$,从而可得到____$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
(2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案,你能通过对比图1与图2,换一种方法证明勾股定理吗？

答案：
(1)$(a+b)^{2}$ $4×\frac {1}{2}ab+c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
(2)图1中:$S_{大正方形}=4×\frac {1}{2}ab+c^{2}=2ab+c^{2},$
图2中:$S_{大正方形}=a^{2}+b^{2}+4×\frac {1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+2ab,$
$\therefore 2ab+c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

3. (2024·泗洪县期中)把一个直立的火柴盒放倒(如图所示),请你用不同的方法计算梯形$ ACED $的面积,再次验证勾股定理.(设火柴盒截面宽为$ a $,长为$ b $,对角线为$ c $)

答案： 由题意,图中的四边形 ACED 为直角梯形,$△BDA$为等腰直角三角形,$Rt△ABC\cong Rt△BDE.$
设梯形 ACED 的面积为 S,
则$S=\frac {1}{2}(a+b)(a+b)=\frac {1}{2}(a^{2}+b^{2})+ab.$
又$\because S=S_{Rt△BDA}+2S_{Rt△ABC}=\frac {1}{2}c^{2}+2×\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}c^{2}+ab,$
$\therefore \frac {1}{2}(a^{2}+b^{2})+ab=\frac {1}{2}c^{2}+ab,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

4. 如图,将$ Rt△ABC 绕其锐角顶点 A 逆时针旋转 90^{\circ} 得到 Rt△ADE $,连接$ BE $,延长$ DE $,$ BC 相交于点 F $,则有$ ∠BFE= 90^{\circ} $,且四边形$ ACFD $是一个正方形.
(1)判断$ △ABE $的形状,并证明你的结论；
(2)试用这个图形中的面积关系验证勾股定理.(用两种方法算四边形$ ABFE $的面积)

答案：
(1)$△ABE$是等腰直角三角形.证明如下:
由旋转,得$∠BAE=90^{\circ }.$
又$\because AB=AE,\therefore △ABE$是等腰直角三角形.
(2)由旋转,得$△ABC\cong △AED,\therefore S_{△ABC}=S_{△AED}.$
用两种方法算四边形 ABFE 的面积:
①$S_{四边形ABFE}=S_{△ABC}+S_{四边形ACFE}=S_{△AED}+S_{四边形ACFE}=S_{正方形ACFD}=b^{2}.$
②$S_{四边形ABFE}=S_{△ABE}+S_{△BEF}=\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}(b+a)(b-a)=\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}b^{2}-\frac {1}{2}a^{2}.$
由①,②,得$b^{2}=\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}b^{2}-\frac {1}{2}a^{2},$
整理,得$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$