《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

7. (2024·如皋市期中)如图,直线 $l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,点 $C$,$D$ 是直线 $l$ 上两点,连接 $AC$,$BC$,$AD$,$BD$,过点 $D$ 作 $AB$ 的平行线分别交 $AC$,$BC$ 于点 $E$,点 $F$.
求证：(1)$\triangle ACD\cong\triangle BCD$；(2)$D$ 是 $EF$ 的中点.
]

答案：
(1)
∵直线l是线段AB的垂直平分线，点C，D是直线l上两点，
∴AC=BC，AD=BD.在△ACD和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ CD=CD,\\ AD=BD,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△BCD(SSS).
(2)
∵CD⊥AB，EF//AB，
∴CD⊥EF，
∴∠CDE=∠CDF=90°.
∵△ACD≌△BCD，
∴∠ECD=∠FCD.在△ECD和△FCD中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ECD=∠FCD,\\ CD=CD,\\ ∠CDE=∠CDF,\end{array}\right. $
∴△ECD≌△FCD(ASA)，
∴ED=FD，
∴D是EF的中点.

8. (2024·睢宁县期中)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB$ 的垂直平分线分别交 $AB$,$AC$ 于点 $E$,$D$,连接 $BD$,若 $\triangle ABC$ 的周长为 $27\mathrm{cm}$,$\triangle BCD$ 的周长为 $21\mathrm{cm}$,则 $AE$ 的长为 (D)

A.$10\mathrm{cm}$
B.$9\mathrm{cm}$
C.$6\mathrm{cm}$
D.$3\mathrm{cm}$
]

答案： D

9. (2024·苏州工业园区期中)如图,$OE$,$OF$ 分别是 $AC$,$BD$ 的垂直平分线,垂足分别为 $E$,$F$,且 $AB = CD$,$\angle ABD = 116^{\circ}$,$\angle CDB = 28^{\circ}$,则 $\angle OBD= $______$^{\circ}$.
]

答案：
44 解析：如图，连接OA，OC.
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA=OC，OB=OD，DF=BF.又
∵OF=OF，
∴△OFD≌△OFB(SSS)，
∴∠ODB=∠OBD.
∵OA=OC，AB=CD，OB=OD，
∴△AOB≌△COD(SSS)，
∴∠ABO=∠CDO.
∵∠ABD=116°，∠CDB=28°，
∴∠ABO+∠OBD=116°，∠CDO-∠ODB=28°，
∴∠ABO=72°，∠OBD=44°.

10. (2024·泰州姜堰区校级月考)在 $\triangle ABC$ 中,$AB$ 的垂直平分线分别交 $AB$,$BC$ 于点 $D$,$E$,$AC$ 的垂直平分线分别交 $AC$,$BC$ 于点 $F$,$G$,$AE = 5$,$AG = 6$,$EG = 2$,则 $BC= $______.

答案：
13或9 解析：有两种情形：①如图1，
∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA=EB，GA=GC.
∵AE=5，AG=6，EG=2，
∴BC=BE+EG+GC=AE+EG+AG=13；②如图2，同①，得BC=BE+GC-EG=AE+AG-EG=9.综上可知，BC=13或9.

11. (2024·新兴县期末)如图,在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 $AB$ 的垂直平分线 $DE$,分别交 $AB$,$BC$ 于点 $D$,$E$,连接 $CD$,$AE$；(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证：点 $E$ 在线段 $CD$ 的垂直平分线上.
]

答案：

(1)如图，直线DE即为所求.
(2)由作图，得DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE，∠ADE=90°.在△AED和△BED中，$\left\{\begin{array}{l} AE=BE,\\ DE=DE,\\ AD=BD,\end{array}\right. $
∴△AED≌△BED(SSS)，
∴∠EAD=∠B=30°.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴∠CAE=∠BAC-∠EAD=30°，
∴∠CAE=∠EAD.在△AED和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EAD=∠EAC,\\ ∠ADE=∠ACE=90°,\\ AE=AE,\end{array}\right. $
∴△AED≌△AEC(AAS)，
∴DE=CE，AD=AC，
∴点E在线段CD的垂直平分线上.