《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. (2024·宝应县期中)已知等腰三角形的一个外角等于 $100^{\circ}$,则它的顶角是80°或20°.

答案： 80°或20°

2. (2024·无锡滨湖区期中)等腰三角形 $ABC$ 中,$AB = AC$,一边上的中线 $BD$ 将这个三角形的周长分为 $12$ 和 $18$ 两个部分,则这个等腰三角形的底边长为(6或14)
A.$6$ 或 $14$
B.$12$ 或 $14$
C.$8$ 或 $14$
D.$6$ 或 $8$

答案： A　解析:根据题意，分两种情况讨论:①当18是腰长与腰长一半时，AB + $\frac{1}{2}$AB = 18，
∴AB = 12，
∴底边长为12 - $\frac{1}{2}$×12 = 6；②当12是腰长与腰长一半时，AB + $\frac{1}{2}$AB = 12，
∴AB = 8，
∴底边长为18 - $\frac{1}{2}$×8 = 14。综上可知，这个等腰三角形的底边长为6或14。

3. 若等腰三角形 $ABC$ 的周长是 $16$,$AB = 6$,则 $BC$ 的长为4或5或6.

答案： 4或5或6　解析:根据题意，分三种情况讨论:①当AB = BC = 6时，AC = 16 - 2×6 = 4，符合题意；②当AB = AC = 6时，BC = 16 - 2×6 = 4，符合题意；③当BC = AC时，
∵AB = 6，等腰三角形的周长为16，
∴BC = AC = (16 - 6)÷2 = 5，符合题意。综上可知，BC的长为4或5或6。

4. (2024·宿迁宿豫区期中)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $42^{\circ}$,则其底角的度数为______.

答案：
66°或24°　解析:
∵BD⊥AC，
∴∠ADB = 90°。分两种情况讨论:①当∠A＜90°时，如图1所示，此时∠ABD = 42°，
∴∠A = 90° - 42° = 48°。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠A) = 66°；②当∠A＞90°时，如图2所示，此时∠ABD = 42°，
∴∠BAC = 90° + 42° = 132°。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠BAC) = 24°。综上可知，等腰三角形底角的度数为66°或24°。
　　　　　 　　

5. 若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为 $50^{\circ}$,则这个等腰三角形顶角的度数为______.

答案：
40°或140°　解析:如图1，当等腰三角形为锐角三角形时，∠ADE = 50°，∠AED = 90°，
∴∠A = 40°；如图2，当等腰三角形为钝角三角形时，∠ADE = 50°，
∴∠DAE = 40°，
∴∠BAC = 180° - 40° = 140°。
　　　　 　　

6. 有甲、乙、丙三个三角形,已知三个三角形的内角度数如图 1,2,3 所示.



(1)请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数；
(2)利用第(1)小题的分割方法,求将一个等腰三角形分割成两个等腰三角形后原等腰三角形的顶角度数. (直接写出答案即可)

答案：

(1)如图所示:
　　　　　 　　
　　 　　 　　
(2)当过顶角顶点的直线把它分成了两个等腰三角形有①②两种情况:①如图4，AC = BC，AD = CD = BD。设∠A = x°，则∠ACD = ∠A = x°，∠B = ∠A = x°，
∴∠BCD = ∠B = x°。
∵∠A + ∠ACB + ∠B = 180°，
∴x + x + x + x = 180，解得x = 45，则顶角是90°。②如图5，AC = BC = BD，AD = CD。设∠B = x°。
∵AC = BC，
∴∠A = ∠B = x°。
∵AD = CD，
∴∠ACD = ∠A = x°，
∴∠BDC = ∠A + ∠ACD = 2x°。
∵BC = BD，
∴∠BCD = ∠BDC = 2x°，
∴∠ACB = 3x°，
∴x + x + 3x = 180，解得x = 36，则顶角是108°。③如图6，当过底角顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则有AC = BC，AB = AD = CD。设∠C = x°。
∵AD = CD，
∴∠CAD = ∠C = x°，
∴∠ADB = ∠CAD + ∠C = 2x°。
∵AD = AB，
∴∠B = ∠ADB = 2x°。
∵AC = BC，
∴∠CAB = ∠B = 2x°。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠CAB + ∠B + ∠C = 180°，
∴x + 2x + 2x = 180，解得x = 36，则顶角是36°。④如图7，当∠A = x°，∠ABC = ∠ACB = 3x°时，也符合，此时AD = BD，BC = DC，
∴∠A = ∠ABD = x°，∠DBC = ∠BDC = 2x°，
∴x + 3x + 3x = 180，解得x = $\frac{180}{7}$，则顶角是($\frac{180}{7}$)°。综上可知，顶角度数为90°或36°或108°或($\frac{180}{7}$)°。