《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

8. (2024·东台市期末) 为了测量池塘两岸相对的两点 $ A $,$ B $ 的距离,同学们想出了如下方案：如图,在池塘外作 $ AB $ 的垂线 $ BF $,在 $ BF $ 上取 $ C $,$ D $ 两点,使 $ BC = CD $,再画出 $ BF $ 的垂线 $ DE $,在 $ DE $ 上取点 $ E $,使 $ E $,$ C $,$ A $ 三点在一条直线上,这时测得 $ DE $ 的长度即为 $ A $,$ B $ 两点间的距离。请说明理由。
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答案： 由题意,得BF⊥AB,DE⊥BF,
∴∠B=∠EDC=90°.在△ABC和△EDC中,{∠B=∠EDC,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴AB=DE,故测得DE的长度即为A,B两点间的距离.

9. (2024·无锡锡山区期中) 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AB // DC $,$ E $ 为 $ BC $ 的中点,连接 $ DE $,$ AE $,$ AE \perp DE $,延长 $ DE $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ F $。若 $ AB = 5 $,$ CD = 3 $,则 $ AD $ 的长为(C)

A.$ 2 $
B.$ 5 $
C.$ 8 $
D.$ 11 $
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答案： C

10. (2024·丰县期中) 如图,$ \triangle ABC $ 中,若 $ \angle ACB = 90 ^ { \circ } $,$ AC = BC $,$ AM $ 是 $ \angle CAB $ 的平分线,交 $ BC $ 于点 $ M $,$ BN \perp AM $,垂足为 $ N $。若 $ AM = 12 $,则 $ BN = $______。

答案：
6 解析:如图，延长BN,AC相交于点D.
∵BN⊥AM,∠ACB=90°,
∴∠BNM=∠ACB=90°,
∴∠MAC=90°−∠CMA=90°−∠NMB=∠DBC.又
∵AC=BC,
∴△MAC≌△DBC(ASA),
∴AM=BD.
∵AM是∠CAB的平分线，
∴∠DAN=∠BAN.
∵BN⊥AM,
∴∠AND=∠ANB=90°.又
∵AN=AN,
∴△ANB≌△AND(ASA),
∴BN=DN,
∴BN=DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AM=6.

11. 如图,$ G $ 是线段 $ AB $ 上一点,$ AC $ 与 $ DG $ 相交于点 $ E $。
(1) 用直尺和圆规作出 $ \angle ABC $ 的平分线 $ BF $；(保留痕迹,不写作法)
(2) 设 $ BF $ 与 $ AC $ 的交点为 $ M $,$ AD // BC $,$ AD = BC $,$ \angle ABC = 2 \angle ADG $,求证：$ DE = BM $。
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答案：

(1)如图,射线BF即为所求.　　
(2)
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠MBC.　　又
∵∠ABC=2∠ADG,
∴∠MBC=∠ADG.　　又
∵AD//BC,
∴∠DAE=∠BCM.　　在△ADE和△CBM中,{∠ADE=∠CBM,AD=BC,∠DAE=∠BCM,
∴△ADE≌△CBM(ASA),
∴DE=BM.