《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. (2024·江阴市期中改编)数学活动:折纸与证明.
折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.


如图 1,在$\triangle ABC$中,$AB＞AC$,怎样证明$∠C＞∠B$呢?
如图 2,把$AC沿∠A的平分线AD$翻折,因为$AB＞$ $AC$,所以,点$C落在AB上的点C'$处.于是,由$∠AC'D= ∠C,∠AC'D＞∠B$,可得$∠C＞∠B$.
感悟与应用:
(1)如图 3,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠B= 30^{\circ },AD平分∠CAB$,试判断$CD和BD$之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图 4,$AD是\triangle ABC$的高,$∠C= 2∠B$.若$AC= 10,CD= 4$,求$BD$的长.小龙同学的解法是:将$\triangle ADC沿AD$折叠,点$C落在边BC上的点E$处…,画出图形并写出完整的解题过程.
探究与应用:
(3)如图 5,对折长方形纸片$ABCD$(其中$AB// DC,AD// BC$),使$AD与BC$重合,得到折痕$EF$,把纸片展平;再一次折叠纸片,使点$A落在EF上的点H$处,并使折痕经过点$B$,得到折痕$BG$,把纸片展平,连接$AH$.请判断$\triangle ABH$的形状,并证明.
(4)如图 6,在四边形$ABCD$中,$AC平分∠BAD,DC= BC$.求证:$∠B+∠D= 180^{\circ }$.

答案：
1.
(1)BD=2CD.理由如下:
　如图1,把AC沿AD翻折,由于AD平分∠CAB,AB＞AC,故点C 的对称点E在AB上，连接DE.
　由折叠,得AC=AE,CD=DE.
　又
∵AD=AD,
∴△ACD≌△AED(SSS),
∴∠ACD=∠AED=90°,
∴∠BED=180°−∠AED=90°.
　在Rt△BDE中,∠B=30°,
∴BD=2DE,
∴BD=2CD.
　　　　
(2)由AD⊥BC,将AC沿AD折叠，点C落在BC边上的点E处，连接AE,如图2所示.
　由折叠,得ED=CD=4,AE=AC=10,
∴∠C=∠AEC.
∵∠C=2∠B,
∴∠AEC=2∠B=∠B+∠BAE,
∴∠B=∠BAE,
∴BE=AE=10,
∴BD=BE+ED=10+4=14.
　　　　　　　　　　
(3)△ABH是等边三角形.证明如下:
∵长方形纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF，
∴EF垂直平分AB,
∴AH=BH.
∵将点A翻折到EF上的点H处，
∴AB=BH,
∴AB=AH=BH,
∴△ABH是等边三角形
(4)由AC平分∠BAD,将AD沿AC折叠，点D落在AB边上的点M处，连接CM,如图3所示.
　由折叠,得AD=AM,∠AMC=∠D.
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠MAC.
　在△ACD和△ACM中,
$\left\{\begin{array}{l} AD=AM,\\ ∠DAC=∠MAC,\\ AC=AC,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△ACM(SAS),
∴CD=CM,∠D=∠AMC.
　又
∵DC=BC,
∴CM=BC,
∴∠CMB=∠B.
∵∠AMC+∠CMB=180°,
∴∠B+∠D=180°.