《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. (2023·仪征市期末)课本 129 页的阅读材料介绍了用方位角、距离描述物体的位置. 如图 1, 现作出规定: 把 $\angle yOM$ 这样的角称为方位角, $Oy$ 绕点 $O$ 顺时针旋转则度数为正, 逆时针旋转则度数为负, 方位角 $\angle yOM$ 度数的取值范围是: $-180^{\circ}＜\angle yOM\leqslant180^{\circ}$. 可以这样描述王家庄的位置: 王家庄 $M$ 在红星镇 $O$ 的方位角为 $45^{\circ}$, 距离为 $7\ km$ 的位置, 记为 $(7,45^{\circ})$; 赵庄组 $N$ 在红星镇 $O$ 的方位角为 $-30^{\circ}$, 距离为 $3\ km$ 的位置, 记为 $(3,-30^{\circ})$.
(1) 在图 2 正方形网格中标出点的位置: $A(\sqrt{8},45^{\circ}),B(2,-90^{\circ}),C(3,180^{\circ})$;
(2) 直接写出点 $P(5,30^{\circ})$ 关于点 $O$ 的对称点记为______;
(3) 如图 3, $E(5,20^{\circ}),F(12,110^{\circ})$, 过点 $O$ 作 $OH\perp EF$, 垂足为 $H$, 求 $OH$ 的长.

答案：
1.
(1)点A,B,C的位置如图1所示.
　　　　　　
(2)(5,-150°)
(3)如图2,连接OE,OF.
　　　　　　
由题意,得∠yOE=20°,∠yOF=110°,OE=5,OF=12,
∴∠EOF=110° - 20° = 90°.
在Rt△EOF中,∠EOF = 90°,
∴EF = √(OE² + OF²)= √(5² + 12²)= 13.
∵S△EOF = 1/2OE·OF = 1/2EF·OH,
∴OH = (OE·OF)/EF = (5×12)/13 = 60/13.

2. 如图, 一只甲虫在 $5×5$ 的方格 (每小格边长为 1) 上沿着网格线运动. 它从 $A$ 处出发去看望 $B,C,D$ 处的其他甲虫, 若规定: 向上、向右走均为正, 向下、向左走均为负. 如果从 $A$ 到 $B$ 记为 $A\to B(+4,+1)$, 从 $B$ 到 $A$ 记为 $B\to A(-4,-1)$, 其中第一个数表示上下方向, 第二个数表示左右方向.
(1) 图中 $A\to C$ (______, ______), $C\to$______ $(-2,+1)$;
(2) 若这只甲虫从 $A$ 处去 $P$ 处的行走路线依次为 $(+2,+2),(+1,-1),(-2,+3),(+3,+1)$, 请在图中标出 $P$ 的位置;
(3) 若这只甲虫的行走路线为 $A\to B\to C\to D$, 请计算该甲虫走过的路程;
(4) 若图中另有两个格点 $M,N$, 且 $M\to A(3 - a,b - 4),M\to N(5 - a,b - 2)$, 则 $N\to A$ 应记为什么?

答案：
2.
(1)+4 +3 D
(2)点P的位置如图所示:
　　　　　　　　　　
(3)由题意，得A→B表示为(+1,+4),B→C记为(0,+2),C→D记为(-2,+1),
则该甲虫走过的路线长为1 + 4 + 2 + 2 + 1 = 10.
(4)
∵M→A(3 - a,b - 4),M→N(5 - a,b - 2),
∴5 - a - (3 - a)= 2,b - 2 - (b - 4)= 2,
∴点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N,
∴N→A应记为(-2,-2).