《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

14. (2024·扬州江都区期中)如图,在$Rt\triangle ABC$中,已知$\angle A= 90^{\circ}$,$D是斜边BC$的中点,$DE\perp BC交AB于点E$,连接$CE$.
(1)求证：$BE^{2}-AE^{2}= AC^{2}$；
(2)若$AC= 6$,$BD= 5$,求$AE$的长.

答案：
(1)
∵DE⊥BC,D是斜边BC的中点，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE.
　　在Rt△ACE中,∠A=90°,
　　由勾股定理,得CE²=AC²+AE²,
∴BE²=AC²+AE²,
∴BE²−AE²=AC².
(2)
∵BD=5,D是斜边BC的中点，
∴BC=2BD=10.
　　在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=6,
　　由勾股定理，得AB=$\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8,
∴AB=BE+AE=8.
　　设AE=x,则BE=CE=8−x.
　　由
(1),知CE²=AC²+AE²,
∴(8−x)²=6²+x²,解得x=$\frac{7}{4}$,
∴AE=$\frac{7}{4}$.

15. (2024·扬州江都区期中)如图,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC= \angle ADC= 90^{\circ}$,$E是对角线AC$的中点,$F是对角线BD$上的动点,连接$EF$.若$AC= 10$,$BD= 6$,则$EF$的最小值为______.

答案：
4　解析:如图,连接BE,DE.
∵∠ABC=∠ADC=90°,E是对角线AC的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$AC,DE=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC=10,
∴BE=DE=5.过点E作EF'⊥BD于点F',则F'是线段BD的中点,
∴BF'=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×6=3.在Rt△BEF'中,由勾股定理,得EF'=$\sqrt{BE^{2}-BF'^{2}}$=4.由“垂线段最短”知,线段EF的最小值为EF'的值,即为4.
　　　　　　　　

16. (2024·高邮市期中节选)如图,已知$\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$,$AB= 16\ cm$,$BC= 12\ cm$,$M$,$N是\triangle ABC$边上的两个动点,其中点$N从点A开始沿A\to B$方向运动,且速度为$2\ cm/s$,点$M从点B开始沿B\to C\to A$方向运动,且速度为$4\ cm/s$,它们同时出发,设运动的时间为$t\ s$.
(1)当点$M在边BC$上运动时,出发几秒钟,$\triangle MNB$是等腰三角形？
(2)当点$M在边CA$上运动时,求能使$\triangle BCM成为等腰三角形的t$的值.

答案：

(1)由题意,得AN=2tcm,BM=4tcm.
　　又
∵AB=16cm,
∴BN=AB−AN=(16−2t)cm.
　　当点M在边BC上运动，且△MNB为等腰三角形时，则有BM=BN,
∴16−2t=4t,解得t=$\frac{8}{3}$,
∴当点M在边BC上运动时，出发$\frac{8}{3}$s后△MNB是等腰三角形.
(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,
　　由勾股定理，得AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=20(cm).
　　当点M在边CA上运动时,$\frac{12}{4}$≤t≤$\frac{12+20}{4}$,即3≤t≤8,
　　此时AM=BC+AC−4t=(32−4t)cm,
　　则CM=AC−AM=20−(32−4t)=(4t−12)cm.
　　当BM=BC或CM=BC或CM=BM时,△BCM为等腰三角形.
　　①如图1,当CM=BC=12cm时,4t−12=12,解得t=6,符合题意;
　　
　　②如图2,当BM=BC=12cm时,过点B作BD⊥AC,则CD=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$(4t−12)=(2t−6)cm.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·BC=$\frac{1}{2}$AC·BD,
∴BD=$\frac{AB·BC}{AC}$=$\frac{12×16}{20}$=$\frac{48}{5}$(cm).
　　在Rt△BCD中,由勾股定理,得BD²+CD²=BC²,
∴CD=$\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}$=$\sqrt{12^{2}-(\frac{48}{5})^{2}}$=$\frac{36}{5}$(cm),
∴2t−6=$\frac{36}{5}$,解得t=6.6,符合题意;
　　
　　③如图3,当CM=BM时,则∠C=∠CBM.
　　又
∵∠C+∠A=90°,∠CBM+∠MBA=90°,
∴∠A=∠ABM,
∴BM=AM,
∴CM=AM=10,
∴4t−12=10,解得t=5.5,符合题意.
　　
　　综上可知，当点M在边CA上运动时，能使△BCM成为等腰三角形的t的值为5.5或6或6.6.