《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

12. (2024·海安市期中) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ CD $ 是 $ \angle ACB $ 的角平分线,$ BE \perp CD $,垂足为 $ E $。
(1) 若 $ \angle BAC = 40 ^ { \circ } $,求 $ \angle CBE - \angle DBE $ 的度数；
(2) 连接 $ AE $,若 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 6 $,求 $ \triangle AEC $ 的面积。
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答案：
(1)延长BE交AC于点F.
∵CD是∠ACB的角平分线,
∴∠ACD=∠BCD.
∵BE⊥CD,
∴∠CEF=∠CEB=90°.　　在△CEF和△CEB中,{∠FCE=∠BCE,CE=CE,∠CEF=∠CEB,
∴△CEF≌△CEB(ASA),
∴∠CFB=∠CBF,FE=BE,
∴∠CBE−∠DBE=∠CFB−∠DBE=∠BAC=40°.　　
(2)
∵FE=BE,
∴S△CEF=S△CEB,S△AEF=S△AEB,
∴S△AEC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×6=3.

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 是 $ BC $ 的中点,过点 $ D $ 的直线 $ GF $ 交 $ AC $ 于点 $ F $,交 $ AC $ 的平行线 $ BG $ 于点 $ G $,$ DE \perp DF $,交 $ AB $ 于点 $ E $,连接 $ EG $,$ EF $。请你判断 $ BE + CF $ 与 $ EF $ 的大小关系,并说明理由。
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答案： BE+CF＞EF.理由如下:
∵BG//AC,
∴∠DBG=∠DCF.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD.　　在△BGD和△CFD中,{∠DBG=∠DCF,BD=CD,∠BDG=∠CDF,
∴△BGD≌△CFD(ASA),
∴BG=CF,GD=FD.
∵DE⊥FG,
∴∠EDG=∠EDF=90°.　　在△EGD和△EFD中,{GD=FD,∠EDG=∠EDF,ED=ED,
∴△EGD≌△EFD(SAS),
∴EG=EF.
∴在△EBG中,BE+BG＞EG,即BE+CF＞EF.

14. (2024·灌云县月考) 如图,$ AE $ 与 $ BD $ 相交于点 $ C $,$ AC = EC $,$ BC = DC $,$ AB = 8 cm $,点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ A \to B \to A $ 方向以 $ 2 cm/s $ 的速度运动,点 $ Q $ 从点 $ D $ 出发,沿 $ D \to E $ 方向以 $ 1 cm/s $ 的速度运动,$ P $,$ Q $ 两点同时出发,当点 $ P $ 到达点 $ A $ 时,$ P $,$ Q $ 两点同时停止运动,设点 $ P $ 的运动时间为 $ t ( s ) $。
(1) 求证：$ AB // DE $；
(2) 写出线段 $ AP $ 的长；(用含 $ t $ 的式子表示)
(3) 连接 $ PQ $,当线段 $ PQ $ 经过点 $ C $ 时,求 $ t $ 的值。
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答案：
(1)在△ABC和△EDC中,{AC=EC,∠ACB=∠ECD,BC=DC,
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴∠A=∠E,
∴AB//DE.　　
(2)当0≤t≤4时,AP=2t cm;　　当4＜t≤8时,BP=(2t−8)cm,
∴AP=8−(2t−8)=(16−2t)cm.　　综上可知,线段AP的长为2t cm或(16−2t)cm.　　
(3)由题意,得DQ=t cm,则EQ=(8−t)cm.　　由
(1),得∠A=∠E,ED=AB=8 cm,　　在△ACP和△ECQ中,{∠A=∠E,AC=EC,∠ACP=∠ECQ,
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ.　　当0≤t≤4时,2t=8−t,解得t=$\frac{8}{3}$;　　当4＜t≤8时,16−2t=8−t,解得t=8.　　综上可知,当线段PQ经过点C时,t的值为$\frac{8}{3}$或8.