《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. 如图,点 $ E $ 在 $ \triangle ABC $ 的边 $ AC $ 的延长线上,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上,$ DE $ 交 $ BC $ 于点 $ F $,$ DF = EF $,$ BD = CE $。求证：$ \triangle ABC $ 是等腰三角形。

答案： 过点D作DG//AC交BC于点G.
∵DG//AC，
∴∠GDF=∠E，∠DGB=∠ACB.
在△GDF和△CEF中，{∠GDF=∠E，
DF=EF，
∠DFG=∠EFC，
∴△GDF≌△CEF(ASA)，
∴GD=CE.
∵BD=CE，
∴BD=GD，
∴∠B=∠DGB=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形.

2. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ P $,$ E $ 分别是 $ AC $,$ BC $ 的延长线上的点,且 $ AP = CE $,$ BM = EM $,$ PM $ 和 $ BA $ 的延长线相交于点 $ N $。求证：$ \triangle NAP $ 是等腰三角形。

答案：
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB，∠BAC=60°，AB=BC=AC.
如图，作PH//AB交BE于点H，
∴∠PHC=∠ABC=60°.
∵∠PCH=∠ACB=60°，
∴△PCH是等边三角形，
∴CH=PC.
∵AP=CE，
∴AP - CP=CE - CH，即AC=EH.
∵BC=AC，
∴BC=EH.
∵BM=EM，
∴CM=HM，
∴∠CPM=∠HPM=30°，PN⊥BE.
∵∠PAN=180° - 60°=120°，
∴∠N=30°，
∴∠APN=∠N，
∴PA=AN，
∴△NAP是等腰三角形.

3. 【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后,数学活动小组对如图所示的课本上的一道例题进行了深入探究,发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形,有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的平行线构造等腰三角形。如图 1,$ P $ 为 $ \angle AOB $ 的平分线 $ OC $ 上的一点,过点 $ P $ 作 $ PD // OB $ 交 $ OA $ 于点 $ D $,易证 $ \triangle POD $ 为等腰三角形。
【基本运用】(1) 如图 2,把长方形纸片 $ ABCD $ 沿对角线 $ AC $ 折叠,点 $ B $ 落在点 $ B' $ 处,重合部分($ \triangle ACE $)是等腰三角形吗？为什么？
【类比探究】(2) 如图 3,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC $ 与外角 $ \angle ACG $ 的平分线交于点 $ O $,过点 $ O $ 作 $ DE // BC $,分别交 $ AB $,$ AC $ 于点 $ D $,$ E $,试探究线段 $ BD $,$ DE $,$ CE $ 之间的数量关系,并说明理由。
【拓展提升】(3) 如图 4,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AD // BC $,$ DE = CE $,且 $ AE $ 平分 $ \angle BAD $,连接 $ BE $。求证：$ AE \perp BE $。

答案：
(1)△ACE是等腰三角形.理由如下:
在长方形ABCD中，DC//AB，
∴∠ACD=∠BAC.
又由折叠性质，得∠B'AC=∠BAC，
∴∠ACD=∠B'AC，
∴AE=CE，
∴△ACE是等腰三角形.
(2)BD=DE+CE.理由如下:
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO.
∵DE//BC，
∴∠CBO=∠BOD，
∴∠ABO=∠BOD，
∴BD=OD.
同理，得CE=OE.
又
∵OD=DE+OE，
∴BD=DE+CE.
(3)如图，在题图4中，延长AE，BC交于点F.
∵AD//BC，
∴∠D=∠DCF，∠DAF=∠F.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠F=∠BAF，
∴AB=BF.
在△ADE和△FCE中，{∠D=∠ECF，
∠DAF=∠F，
DE=CE，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AE=FE.
又
∵AB=BF，
∴AE⊥BE.