《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

13. (2023·仪征市期中)如图1,△ABC中,∠A= ∠ABC,延长AC到点E,过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F,延长CB到G,过点G作GH⊥AB交AB的延长线于点H,且EF= GH.
(1)求证：△AEF≌△BGH；(2)如图2,连接EG与FH相交于点D,若AB= 4,求DH的长.
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答案：
(1)
∵∠A=∠ABC,∠ABC=∠GBH,
∴∠A=∠GBH.
∵EF⊥AB,GH⊥AB,
∴∠AFE=∠BHG.
在△AEF和△BGH中,$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠GBH,\\ ∠AFE=∠BHG,\\ EF=GH,\end{array}\right. $
∴△AEF≌△BGH(AAS).
(2)
∵△AEF≌△BGH,
∴AF=BH,
∴AB=FH=4.
∵EF⊥AB,GH⊥AB,
∴∠EFD=∠GHD=90°.
在△EFD和△GHD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EFD=∠GHD,\\ ∠EDF=∠GDH,\\ EF=GH,\end{array}\right. $
∴△EFD≌△GHD(AAS),
∴DH=DF=$\frac{1}{2}$FH=$\frac{1}{2}$AB=2.

14. (1)【阅读理解】如图1,在四边形ABCD中,AB//CD,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,得到AB= FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中,则AB,AD,DC之间的等量关系为AD=AB+DC；
(2)【问题探究】如图2,在四边形ABCD中,AB//CD,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
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答案：
(1)AD=AB+DC
(2)AB=AF+CF.证明过程如下:
如图,延长AE交DF的延长线于点G.
∵E是BC的中点,
∴CE=BE.
∵AB//CD,
∴∠BAE=∠G.
在△AEB和△GEC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠G,\\ ∠AEB=∠GEC,\\ BE=CE,\end{array}\right. $
∴△AEB≌△GEC(AAS),
∴AB=GC.
∵AE是∠BAF的平分线,
∴∠BAG=∠FAG.
∵∠BAG=∠G,
∴∠FAG=∠G.
过点F作FH⊥AG于点H,
∴∠AHF=∠GHF=90°.
在△AFH和△GFH中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FAG=∠G,\\ ∠AHF=∠GHF,\\ FH=FH,\end{array}\right. $
∴△AFH≌△GFH(AAS),
∴FA=FG.
∵GC=CF+FG,
∴AB=AF+CF.

15. (2024·济南槐荫区期末)【模型呈现】(1)如图1,C,A,E在一条直线上,∠BAD= 90°,AB= AD,BC⊥CA于点C,DE⊥AE于点E.求证：BC= AE.
【模型应用】(2)如图2,EA⊥AB且AE= AB,BC⊥CD且BC= CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积.
【深入探究】(3)如图3,∠BAD= ∠CAE= 90°,AB= AD,AC= AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G.
①求证：DG= GE；②若BC= 21,AF= 12,求△ADG的面积.
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答案：
(1)
∵∠BAD=90°,
∴∠BAC+∠DAE=90°.
∵BC⊥AC,DE⊥AC,
∴∠ACB=∠DEA=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠DAE.
在△ABC和△DAE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABC=∠DAE,\\ ∠ACB=∠DEA,\\ BA=AD,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DAE(AAS),
∴BC=AE.
(2)由【模型呈现】,易得△AEP≌△BAG,△CBG≌△DCH,
∴AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CH=BG=3,
∴S实线围成的图形ABCDE=$\frac{1}{2}$×(4+6)×(3+6+4+3)-$\frac{1}{2}$×3×6×2-$\frac{1}{2}$×3×4×2=50.
(3)①如图,过点D作DP⊥AG于点P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于点Q.
由【模型呈现】,易得△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA,
∴DP=AF,EQ=AF,
∴DP=EQ.
∵DP⊥AG,EQ⊥AG,
∴∠DPG=∠EQG=90°.
在△DPG和△EQG中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DPG=∠EQG,\\ ∠DGP=∠EGQ,\\ DP=EQ,\end{array}\right. $
∴△DPG≌△EQG(AAS),
∴DG=GE.
②由①,知BF=AP,FC=AQ,
∴BC=BF+FC=AP+AQ.
∵BC=21,
∴AP+AQ=21,
∴AP+AP+PG+GQ=21.
由①,知△DPG≌△EQG,
∴PG=GQ,
∴AP+AP+PG+PG=21,
∴AP+PG=10.5,
∴AG=10.5.
又
∵DP=AF=12,
∴S△ADG=$\frac{1}{2}$×10.5×12=63.