《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. 如图,在两个由 9 个边长为 3 的小正方形组成的大正方形中,分别有一个圆和一个八边形. 请分别计算圆和八边形的面积：$S_{圆}=$$\frac{81}{4}\pi$(结果保留$\pi$),$S_{八边形}=$63. 埃及人就是用这个方法来估算圆周率的(将图中八边形的面积近似的看成图中圆的面积),请你用你的计算结果,想一想用这个方法估算出的圆周率为3.11.(结果保留两位小数)
2. 阅读下列材料,解决相关任务：
2021 年 5 月 7 日,《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,他是第一个将圆周率$\pi$精确到小数点后第七位的人,他给出$\pi$的两个近似分数值：$\frac{22}{7}$(约率)和$\frac{355}{113}$(密率),同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数$x的不足近似值和过剩近似值分别为\frac{b}{a}和\frac{d}{c}$(即有$\frac{b}{a}＜x＜\frac{d}{c}$,其中$a$,$b$,$c$,$d$为正整数),则$\frac{b + d}{a + c}是x$的更为精确的近似值.
例如：已知$\frac{157}{50}＜\pi＜\frac{22}{7}$,则利用一次“调日法”后可得到$\pi$的一个更为精确的近似分数为：$\frac{157 + 22}{50 + 7}= \frac{179}{57}$；由于$\frac{179}{57}\approx3.1404＜\pi$,再由$\frac{179}{57}＜\pi＜\frac{22}{7}$,可以再次使用“调日法”得到$\pi$的更为精确的近似分数.
任务：(1)请判断：约率$\frac{22}{7}$是(D)
A. 无限不循环小数
B. 有限小数
C. 整数
D. 有理数
(2)已知$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$,请使用两次“调日法”,求$\sqrt{2}$的近似分数.
$\because \frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$,$\therefore$首次利用"调日法"后得$\sqrt{2}$的一个更为精确的近似分数为$\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}$.$\because \frac{10}{7}=\sqrt{\frac{100}{49}}$且$\frac{100}{49}＞2$,$\therefore \frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7}$,$\therefore$再次使用"调日法"得到$\sqrt{2}$的更为精确的近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12}$,$\therefore \sqrt{2}$的近似分数为$\frac{17}{12}$.

答案： 1. $\frac{81}{4}\pi$ 63 3.11 解析:由题意及图形知,圆的直径为$3×3=9$,$\therefore S_{圆}=\pi×(\frac{9}{2})^{2}=\frac{81}{4}\pi$;八边形的面积可以看作大正方形的面积减去8个小正方形的面积,即$S_{八边形}=9×9-3×3×2=63$.由题意,得$\frac{81}{4}\pi=63$,$\therefore \pi=63×\frac{4}{81}\approx3.11$.
2.
(1)D
(2)$\because \frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$,$\therefore$首次利用"调日法"后得$\sqrt{2}$的一个更为精确的近似分数为$\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}$.$\because \frac{10}{7}=\sqrt{\frac{100}{49}}$且$\frac{100}{49}＞2$,$\therefore \frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7}$,$\therefore$再次使用"调日法"得到$\sqrt{2}$的更为精确的近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12}$,$\therefore \sqrt{2}$的近似分数为$\frac{17}{12}$.