《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$E是BC$上一点,$BE= CD$,$EF// AD交AB于点F$,交$CA的延长线于点P$,$CH// AB交AD的延长线于点H$。
(1)求证：$\triangle APF$是等腰三角形；
(2)猜想$AB与PC$的大小有什么关系？证明你的猜想。

答案：

(1)
∵EF//AD,
∴∠1=∠4,∠2=∠P.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠4=∠P,
∴AF=AP,
∴△APF是等腰三角形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)AB=PC.理由如下:
∵CH//AB,
∴∠5=∠B,∠H=∠1.
∵EF//AD,
∴∠1=∠3,
∴∠H=∠3.
在△BEF和△CDH中,$\left\{ \begin{array}{l} ∠5=∠B,\\ ∠H=∠3,\\ BE=CD, \end{array} \right.$
∴△BEF≌△CDH(AAS),
∴BF=CH.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠H,
∴AC=CH,
∴AC=BF.
∵AB=AF+BF,PC=AP+AC,
∴AB=PC.

13. (2024·无锡滨湖区期中)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AD和CE$是高,它们所在的直线相交于点$H$。
(1)若$\angle BAC= 45^{\circ}$(如图1),求证：$AH= 2BD$；
(2)若$\angle BAC= 135^{\circ}$(如图2),(1)中的结论是否依然成立？请在图2中画出图形并证明你的结论。

答案：

(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2BD.
在Rt△AEC中,CE⊥AB,∠BAC=45°,
∴∠ECA=90°−45°=45°,
∴∠BAC=∠ECA,
∴AE=CE.
又
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CEB=90°.
又
∵∠B=∠B,
∴∠BAD=∠ECB.
在△AEH和△CEB中,$\left\{ \begin{array}{l} ∠EAH=∠ECB,\\ AE=CE,\\ ∠AEH=∠BEC, \end{array} \right.$
∴△AEH≌△CEB(ASA),
∴AH=BC,
∴AH=2BD.
(2)
(1)中的结论依然成立.
所画图形如图所示，延长BA交HC于点E.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2BD.
∵∠BAC=135°,
∴∠CAE=180°−135°=45°.
∵AE⊥HC,
∴∠ACE=90°−45°=45°,
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE.
∵HD⊥BC,BE⊥HC,
∴∠HDC=∠CEB=90°.
又
∵∠HCD=∠BCE,
∴∠B=∠H.
在△BEC和△HEA中,$\left\{ \begin{array}{l} ∠B=∠H,\\ ∠BEC=∠HEA,\\ CE=AE, \end{array} \right.$
∴△BEC≌△HEA(AAS),
∴AH=BC.
又
∵BC=2BD,
∴AH=2BD.