《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. 材料 1：光总是走时间最短的路径. 我们在生活中如果也类比光的传播路径行动,会最快到达目的地.
材料 2：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这句诗让我们想到了著名的“将军饮马”问题：如图 1,将军从 A 地出发到河流 l 饮马,然后再到 B 地军营视察,怎样走路径最短？



模型建立：某班级在探究“将军饮马”问题时抽象出数学模型：如图 2,A,B 是直线 l 同旁的两个定点. 在直线 l 上确定一点 P,使 $ PA + PB $ 的值最小.
解法：作点 A 关于直线 l 的对称点 $ A' $,连接 $ A'B $ 交 l 于点 P,则点 P 即为所求. 此时,$ PA + PB $ 的值最小,且 $ PA + PB = A'P + PB = A'B $.
模型应用：(1)如图 3,在等边三角形 ABC 中,E 是 AB 上的动点,AD 是 $ \angle BAC $ 的平分线,P 是 AD 上的动点. 若 $ AD = 6 $,则 $ PE + PB $ 的最小值为______.
模型迁移：(2)如图 4,草地边缘 OM 与小河河岸 ON 在点 O 处形成 $ 30^{\circ} $ 的夹角,牧马人从 A 地出发,先让马到草地边缘吃草,然后再去河边饮水,最后回到 A 地. 已知 $ OA = 5 km $,请在图中设计一条路线,使所走的路径最短,并求出整个过程所行的路程.
拓展延伸：(3)如图 5,A,B 两村之间有一条两岸互相平行的河,河宽为 a. 现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直),使 A,B 之间的路程最短,试画出造桥位置.

答案：
1.
(1)6　解析:
∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC,且BD=DC,
∴AD是BC的垂直平分线，点B与点C 关于直线AD对称.连接CE,CE与直线AD的交点为P,则PB+PE=PC+PE,当CE⊥AB时,CE取得最小值,如图1所示.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$AB·CE,
∴CE=6,即CE的最小值为6,
∴PE+PB的最小值为6.

(2)如图2,分别作出点A关于OM,ON的对称点B,C;连接BC分别交OM,ON于点D,E;连接AD,AE,则线段AD,DE,EA的和即为所求的最短路径.
连接OA,OB,OC.
由作图及题意,得OB=OA=OC=5,∠BOD=∠AOD、∠COE=∠AOE;
∵∠MON=∠AOD+∠AOE=30°,
∴∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°,
∴△OBC为等边三角形,
∴BC=OB=5,
∴AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=5(km).
综上可知,牧马人按照A→D→E→A的路线行走，可使所走的路径最短，整个过程所行的路程为5km.

(3)如图3,A,B两村之间的最短路程为AD+DC+BC,其中DC为桥的位置.(如图，把点A向下平移a的长度到A',连接AA',A'B,与L₂交于点C;平移AA'到CD的位置.
因为DC的长度是定值a，则所求的最短路程为AD+BC的最小值.由平移，可将AD+BC的最小值转化为求A'C+BC的最小值,根据“两点之间线段最短”知A'B即为AD+BC的最小值)