《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. 如图 1,已知 $ AB \perp BD $,$ ED \perp BD $,$ AB = CD $,$ BC = DE $。
(1) 试判断 $ AC $ 与 $ CE $ 的位置关系,并说明理由；
(2) 若将 $ \triangle CDE $ 沿 $ CB $ 方向平移得到图 2～5 的情形,其余条件不变,此时第(1)问中 $ AC $ 与 $ CE $ 的位置关系还成立吗？请任选一个说明理由。

答案： 1.
(1)AC⊥CE.理由如下：
∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC和△CDE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠B=∠D,\\ BC=DE,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△CDE(SAS),
∴∠A=∠DCE.
∵∠A+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,
∴∠ACE=180°-(∠DCE+∠ACB)=90°,
∴AC⊥CE.
(2)仍成立.理由如下(选题图2说明)：
∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC₁和△C₂DE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=C_{2}D,\\ ∠B=∠D,\\ BC_{1}=DE,\end{array}\right. $
∴△ABC₁≌△C₂DE(SAS),
∴∠A=∠EC₂D.
∵∠A+∠AC₁B=90°,
∴∠EC₂D+∠AC₁B=90°,
∴∠AME=90°,
∴AC₁⊥EC₂.

2. (2024·江阴市校级月考)已知,在 $ \triangle ABD $ 中,$ \angle B = 45^{\circ} $,$ \angle ADB = 90^{\circ} $,点 $ B $ 关于直线 $ AD $ 的对称点为 $ E $,连接 $ AE $,点 $ C $ 在射线 $ DE $ 上,$ EN \perp AC $ 于点 $ N $,$ BM \perp AC $ 于点 $ M $。
(1) 若点 $ C $ 在点 $ E $ 的右边,
① 依题意,在图中补全图形；② 若 $ EN = 1 $,$ BM = 3 $,求 $ MN $ 的长。
(2) 当点 $ C $ 在射线 $ DE $ 上运动时,请直接用等式表示出 $ EN $,$ BM $,$ MN $ 之间的数量关系。(不需要证明)

答案：
2.
(1)①如图所示.
②
∵点B,E关于AD对称,
∴AB=AE,
∴∠AED=∠ABD=45°,∠BAE=90°.
又
∵BM⊥AC,EN⊥AC,
∴∠BMA=∠ANE=90°,
∴∠MBA+∠MAB=90°,∠NAE+∠MAB=90°,
∴∠MBA=∠NAE.
在△ABM和△EAN中,$\left\{\begin{array}{l} ∠MBA=∠NAE,\\ ∠BMA=∠ANE,\\ AB=AE,\end{array}\right. $
∴△ABM≌△EAN(AAS),
∴BM=AN,AM=EN,
∴MN=AM+AN=EN+BM=1+3=4.
　　　 　　
(2)分两种情形：
①当点C在线段DE的延长线上时,如图1所示.
由
(1),知MN=EN+BM;
②如图2,当点C在线段DE上时,如图2所示.
同理可证△ABM≌△EAN(AAS),
∴BM=AN,AM=EN,
∴MN=AN - AM=BM - EN.
综上可知,EN,BM,MN之间的数量关系为MN=EN+BM或MN=BM - EN.