《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

8. (2024·南京玄武区期中)证明：在直角三角形中,如果一个锐角等于 $30°$,那么它所对的直角边是斜边的一半.
已知：如图,______.
求证：______.
证明：
]

答案：
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°.
　求证:BC=$\frac{1}{2}$AB.
　证明:证法1:如图1,延长BC到点D,使得BC=CD,连接AD.
∵BC=CD,AC⊥BC,
∴AB=AD.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=90°−30°=60°,
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD.
∵BC=CD=$\frac{1}{2}$BD,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB.
　　　　　　 　　　　　　　
　证法2:如图2,在BA上截BE,使得BC=BE,连接CE.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=90°−30°=60°,
∴△BCE是等边三角形,
∴CE=BC=BE，∠BCE=60°,
∴∠ACE=∠ACB−∠BCE=30°,
∴∠A=∠ACE,
∴AE=CE,
∴AB=AE+BE=2BC,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB.
　(证法不唯一)
　　　　　　

9. (2024·如皋市期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 12$,$\angle BAC = 120°$,点 $D$ 是边 $BC$ 上的任意一点,则 $AD$ 的长不可能是(A)

A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
]

答案： A

10. (2024·泗阳县期中)如图,等边三角形纸片 $ABC$ 的边长为 $2\ cm$,点 $D$,$E$ 分别在 $BC$,$AC$ 上,将$\triangle CDE$沿直线 $DE$ 折叠,点 $C$ 落在点 $C'$ 处,且点 $C'$ 在$\triangle ABC$的外部,则图中三个阴影部分的周长之和为______$cm$.
]

答案：
6　解析:如图,设C'E与AB交于点F,C'D与AB交于点H.
∵△ABC是等边三角形,且边长为2cm,
∴AB=BC=AC=2cm.由折叠,得C'E=CE,C'D=CD,
∴图中三个阴影部分的周长之和为
AF+FH+BH+AE+C'E+BD+C'D=(AF+FH+BH)+(AE+CE)+(BD+CD)=AB+AC+BC=2+2+2=6(cm).
　　　　　　

11. (2024·苏州吴中区校级月考)如图,$\triangle ACD$ 是等边三角形,若 $AB = DE$,$BC = AE$,$\angle E = 115°$,则$\angle BAE = $125$°$.
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答案： 125　解析:
∵△ACD是等边三角形,
∴∠CAD=60°,AC=AD.又
∵AB=DE,BC=AE,
∴△ABC≌△DEA(SSS),
∴∠BAC=∠ADE,
∴∠BAC+∠DAE=∠ADE+∠DAE=180°−∠E=65°,
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°.

12. (2024·南通海门区期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$,$E$ 是$\triangle ABC$内两点,$AD$ 平分$\angle BAC$,$\angle EBC = \angle E = 60°$,若 $BE = 7\ cm$,$DE = 3\ cm$,则 $BC$ 的长为______$cm$.
]

答案：
10　解析:如图,延长AD与BC交于点F,延长ED与BC交于点G.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AF⊥BC,BF=CF.
∵∠EBC=∠E=60°,
∴△BEG是等边三角形,
∴∠DGB=60°,EG=BG=BE=7cm,
∴DG=EG−DE=7−3=4(cm),∠FDG=90°−∠DGB=30°,
∴FG=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{1}{2}$×4=2(cm),
∴BF=BG−FG=7−2=5(cm),
∴BC=2×5=10(cm).
　　　　　　

13. (2024·江阴市校级月考)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120°$,$BC$ 的垂直平分线交 $BC$ 于 $D$. 点 $E$ 在 $AC$ 上,点 $F$ 在 $AD$ 的延长线上,连接 $BF$,$CF$,$BE$,已知 $BE = CF$.
(1)根据题意补全图形；(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证：$\angle AEB = \angle AFB$.
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答案：

(1)根据题意，补全图形如下:
　　　　　　　　　　
(2)如图,过点B作BP⊥AC,交CA的延长线于点P.
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠BCA=∠CBA=$\frac{1}{2}$×(180°−120°)=30°.
　　在Rt△BCP中,∠BPC=90°,∠BCP=30°,
∴BC=2BP.
∵AD为BC的垂直平分线，
∴BC=2BD,BF=CF,
∴BP=BD.
∵BE=CF,BF=CF,
∴BE=BF.
　　在△BEP和△BFD中,∠BPE=∠BDF=90°，$\left\{\begin{array}{l} BP=BD,\\ BE=BF,\end{array}\right.$
∴Rt△BEP≌Rt△BFD(HL),
∴∠PEB=∠DFB,即∠AEB=∠AFB.