《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

10. (2024·泰兴市校级月考)在数轴上点$A,B,C,D对应的数字分别是-1,1,6,x$,若线段$AB$,$BD$,$CD$能围成三角形,则$x$的范围是______.
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2.5＜x＜4.5

答案： 2.5＜x＜4.5 解析:由题意，分两种情况讨论:①当点D在线段BC内时,1＜x＜6,
∴AB=2,BD=x−1,CD=6−x.若能组成三角形,则{BD+AB＞CD,CD+AB＞BD,即{x−1+2＞6−x,6−x+2＞x−1,解得2.5＜x＜4.5;②当点D不在线段BC内,|BD−CD|=|BC|=5＞2=AB,不满足三角形三边关系.综上可知,x的范围是2.5＜x＜4.5.

11. (2024·泗洪县期中)把$12\ cm$长的铁丝截成三段,每段长度均为整数. 若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形,则不同的三角形有3种.

答案： 3 解析:由题意，分情况讨论如下:①当最短的边是1cm时，由三角形的三边关系可知此种情形不成立;②当最短的边是2cm时，由三角形的三边关系可得三边长是2cm,5cm,5cm;当最短的边是3cm时，由三角形的三边关系可得三边长是3cm,4cm,5cm;当最短的边是4cm时，由三角形的三边关系可得三边长是4cm,4cm,4cm.
∵12÷3=4(cm),
∴最短的边一定不大于4cm.综上可知，有3种不同的三角形

12. 如图,$P为\triangle ABC$内任意一点. 证明:$AB + BC + CA＞PA + PB + PC$.
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答案：
如图,延长BP交AC于点D.
在△ABD中,AB+AD＞BD=PB+PD,
在△DPC中,PD+DC＞PC,
∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC,

∴AB+AC＞PB+PC.
同理,得AC+BC＞PA+PB,
AB+BC＞PA+PC,
∴2AB+2AC+2BC＞2PA+2PB+2PC,
∴AB+BC+CA＞PA+PB+PC.

13. 《几何原本》在其第一卷中记载了这样一个命题:“在任意三角形中,大边对大角.”
(1)请补全上述命题的证明.
已知:如图,在$\triangle ABC$中,$BC＞AB$.
求证:$\angle A＞\angle C$.
证明:如图,过点$B作边AC$的垂线,垂足为$D$,作$\triangle ABD关于BD对称的\triangle EBD$. (用无刻度的直尺和圆规补全图形,保留作图痕迹)
…………
(2)请再设计一种证明的方法,画出图形(要求尺规作图,保留作图痕迹),并简要说明理由.
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答案：

(1)补全图形如图1所示.
∵△ABD和△EBD关于BD对称,
∴∠A=∠BED.
∵∠BED是△BEC的外角，
∴∠BED=∠C+∠EBC,
∴∠BED＞∠C,
∴∠A＞∠C.

(2)如图2,在线段CA的延长线上任意取一点D(不与点A重合),作∠MDC=∠C;延长线段CB与DM交于点E;作∠OBF=∠OED.
∵∠OBF=∠OED,
∴DM//FN,
∴∠MDC=∠NFC,
∴∠NFC=∠C.
∵∠BAC是△ABF的外角,
∴∠BAC=∠AFB+∠ABF,
∴∠BAC＞∠AFB,即∠BAC＞∠NFC,
∴∠BAC＞∠C.
(答案不唯一)